【世界一早い東大模試解説】2017夏 駿台実戦 文系数学の作戦

4問を並べて作戦を考えよう!

昨日に引き続き、東大模試の作戦考察をしましょう。

昨日も書きましたが、簡単に趣旨だけ。

いつも一問ずつ復習して、解説を聞くことはありますが、入試を攻略しようとしたら、一年分の問題全体でバランスを考えなければなりません。

 

試験開始の合図の直後、問題の初対面の状態から、どう考えて、どう時間を使えば点数が最大化されるか、考えてみましょう。

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【世界一早い東大模試解説】2017夏 駿台実戦 文系数学の作戦

2017夏 駿台模試

4問を並べて作戦を考えよう!

昨日に引き続き、東大模試の作戦考察をしましょう。

昨日も書きましたが、簡単に趣旨だけ。

いつも一問ずつ復習して、解説を聞くことはありますが、入試を攻略しようとしたら、一年分の問題全体でバランスを考えなければなりません。

 

試験開始の合図の直後、問題の初対面の状態から、どう考えて、どう時間を使えば点数が最大化されるか、考えてみましょう。

 

それぞれ一問ずつの解説記事は下のリンクから見れます。

【世界一早い東大模試解説】2017夏 駿台実戦 文系第1問

【世界一早い東大模試解説】2017夏 駿台実戦 文系第2問

【世界一早い東大模試解説】2017夏 駿台実戦 文系第3問(存在領域、ベクトル)

【世界一早い東大模試解説】2017夏 駿台実戦 文系第4問

 

他の東大模試に関連する記事はこちら。

東大模試解説シリーズ

 

東大の過去問題の解説はこちら

東大入試数学を解説するシリーズ

 

問題冊子を開いたら、こう考えよう。

それでは本題。

試験時間100分の開始数分で、まず4問ともに目を通しましょう

特に、今回の駿台模試では、ここに鍵がありました。

 

【第1問】

 

シンプルな問題。

解法のパターンも、よく勉強している方なら2パターンしかない(細かくは3パターン)と分かるでしょう。

①割り算する

②合同式(mod)で解く

③二項定理で解く

但し、大抵の場合は二項定理で解くより、合同式で解く方が手数が少なく、解答もシンプルに終わる場合が多いです。

 

また、余りの問題は、結局は規則性の発見です。

6を1乗から5乗、10乗として見て、あまりが同じになる所が発見出来れば終わり。

解答の方針も立てやすく、複雑すぎる計算がなさそうなので、いきなり手を付けられる問題。

 

【第2問】

円の上に点を打ち、三角形や四角形を作るのは、よくある問題。

だけど、求める条件が「鋭角三角形の3頂点を含む4点を選ぶ確率」という、珍しい条件。

当然、こんな確率求めた事ないので、急に解法が思いつかないはず。

 

ただ、(1)は正6角形で、(2)は正8角形ですから、あまり複雑な図形も登場しません。

まあ、手が付かないことはないだろう。少なくとも部分点はもらえそうかな、と思える問題。

1問目に解く問題ではないかもしれないけど、優先順位は高めで良さそう。

 

 

【第3問】

 

パッと見で気付くポイントとしては、

①対称性がある

②三角関数がある

③xとyの範囲が限定されている

④存在領域の図示の問題

ということでしょう。

 

対称性に注目して変形すると、キレイな形になりそうかな。(暗算が得意であれば、2乗して和を取ると、cosの加法定理が出る事が予想出来ます。)

あとは、xとyの定義域に注意して、解を持つ条件で攻めれば行けるのか?

一応、手を付けられそう。部分点は来るだろうか・・・。

 

※但し、この問題は、初対面の印象で、上のように判断して解くと痛い目を見る問題でした。詳しくは、こちらのリンクに書いてあります。

実際は、存在領域からベクトルを連想して解くのがベストな問題です。ご注意を。

【第4問】

 

3次関数と2次関数があって、異なる3つの交点を持つ。

面積を計算すると、5:32になる。

別に、特段難しい条件は出てきません。

 

(1)でbをaで表すって事は、文字が一つ減るって事。

(2)では、aを変化させて、通過領域って事は、解の配置で解けそう。

 

とりあえず図を描いて、積分計算をすれば出来そう・・・。これも部分点は来るだろうな。

 

※これも、やってみると痛い目を見る問題。

問題としてはシンプルですが、計算が厳しくて、途中で挫折する可能性大。

初対面では優しそうですが、付き合ってみると怖い。

 

解く順番

以上、第1問から第4問まで見てきましたが、解く順番としては、第1問が始めで良いでしょうね。

初手から最後までが、何となく予想出来る問題は第1問と第4問。

そのうち、計算量が少なく処理出来そうなのは、第1問です。

よって、始めの2問は、1⇒4で決まり。

 

第2問と第3問ですが、どちらが優先かは、好みで良いレベルの差でしょう。

第3問で、まず式変形をしていじって見たければ、そちらでも良いですし、第2問で確率を求める条件を考えても良し。

好きな方からやってみて下さい。

 

但し、第4問で計算が激しくなった辺りで注意。

積分計算や、高次方程式の計算が激しくて困るはずです。その時深追いせず、次の問題に切り替えれるかが重要でしょうね。

 

結果論ですが、第2問が解きやすい問題です。第4問に時間をかけすぎて、第2問に時間を掛けられないのが怖いです。

「計算が面倒になったらストップ」のクセを付けておくのをオススメします。
逆に第3問は、スルスルと最後まで行き過ぎて、「本当にこれで良いの?」となる可能性がありますね。恐らくそれは誤答なんですが(解説記事では、よくある誤答例も掲載してあります)
そんな単純な問題、出ないだろう~と疑って、別の解法を探せるかどうかが、分かれ道ですね。ただ、難しいので探しきれなくても、合格点には届きそうです。

目標に対する、各設問の得点例

では、今度は、目標得点別の得点例です。

独断と偏見で、難易度と配点を決めています。参考にとは思いますが、参考以上にするのはオススメしません。

 

 

第3問は、発想が得にくいということで、難問指定。

第4問は、問題は簡単だけど、計算が難しいということで、難問指定です。

この2問の合計40点中で、10点とれたら十分でしょう。第1問と第2問でしっかり取れるかどうかが最大のポイントです。

 

逆に、第1問と第2問は満点を狙える問題。

上の図は、満点は避けて作ってますが、気持ち的には満点を狙いたいところです。

2016年や2017年の本番の東大入試よりも、難しいと思います。

40点取れたら、十分すぎるくらい合格ラインだと思います。

 

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【日本一早い東大模試解説】2017夏 駿台実戦 文系第3問

最難問。1手目をどうする!?

今日は、第三問です。これはやられましたね。

 

 

今回の東大駿台実戦、問題文の短さに、何かこだわりがあるのでしょうか?

これは毎回1問くらい出る「1手目に困る問題」ですね。

 

第1問の、割り算の余りの問題

第2問の、場合の数・確率の問題

は、どの分野で解くのか、迷わず行けると思うのですが、第三問はそもそもどの公式を使って良いかが分からない。

さあ、皆さんだったら、どの手を打ちますか??

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【世界一早い東大模試解説】2017夏 駿台実戦 文系第2問

今日は、駿台の東大実践、文系第2問です。

 

ここいらで、趣旨説明

東大模試解説も、回数を重ねてきましたが、言い忘れていたので、一言。

(というか、僕の数学の問題解説は、ずっと同じスタンスなのですが)

 

このブログで僕が書いている数学の解説は、美しい解答や最短の解答は紹介していません。

受験生が教科書の内容を一つ一つ丁寧に抑えて行った時に、最も自然な発想で解く解答

を意識して書いています。
 つまり、スマートな解法よりも、努力の先に辿り着く解法を優先しているということです。

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【世界一早い東大模試解説】2017夏 駿台実戦 文系第一問

2017は素数!2018は・・・?

やってきました!

今週は、駿台の東大模試の解説をやっていきます。

それにしても、駿台の数学、難しかったようですが、、、皆さんいかがだったでしょうか?

では、第一問。

 

良いですね!

シンプルな設定の問題です。

2017は素数なので、こういう問題が出せるわけです。

しかし、次の入試ではもう2018年になりますね。

2018は、2×1009と素因数分解出来るので、割と大きい素数が登場します。

これが出るのか、出ないのか・・・。

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【世界一早い東大模試解説】2017夏 駿台実戦 文系第4問

これは難問!!

2017駿台実戦

それでは、文系最後の問題に行きましょう!

 

これは難しい!!

しかし、昨日解説した、第3問とは違う難しさです。

 

文系第3問のリンクはこちら↓

【世界一早い東大模試解説】2017夏 駿台実戦 文系第3問(存在領域、ベクトル)

 

第3問は、1手目の決め方と、ベクトルの領域図示の仕方が難しい問題。

教科書的な勉強では、届かない領域にあると解説しました。

 

一方でこの第4問は、教科書的な知識で最後まで到達します。

考え方もスタンダードだし、スラスラと手が進みます。

しかし、計算が難しい上に多い!

 

始めに言ってしまいますが、手書きの解答を今回も作ったんですけど、解答の流れは駿台の模範解答と同じになってしまいました。

細かい注意点や、コメントなどはたくさん書き込んでいるので、読んで下されば勉強になると思いますが、流れとしては駿台さんと全く同じ。

 

というのも、僕の限られた時間で試した結果、この解答の流れでしか現実的な解法がないのです。

文字の置き方、インテグラルの作り方、展開の仕方や因数分解の仕方まで、この手順通りにやらないと進めなくなってしまいそう。

かなり、計算の幅が狭くて限定されている問題です。

 

さらに、(1)の後半で4次方程式が登場するのですが、これを解くのが相当厳しい!

αとβの2文字が登場する4次方程式なのですが、αとβに対称性のようなものがあります。

厳密には対称性ではないのですが、、、、。

 

この式に到達するまでに、αとβで、エコヒイキしないようにインテグラルを作ったり、解と係数の関係を使ったり気を遣っていたのに、ここにきて4次方程式を解いて、崩すとは。

 

それに、因数定理を使う際の1解を見つけるのが、やや難しいような気がしますね。

そもそも答えに到達するまで、長すぎるし。

ということで、あれこれ文句を言いましたが、変な計算が登場しないからこそ、色々言いにくいものです。

 

解答の流れはスタンダード

では、解答の流れに行きますが、別に難しいところはありません。計算が複雑なだけです。

 

面積計算が必要なので、関数と関数の交点の座標が欲しい。

いうことで、2つの関数を連立して、交点を求めます。

xでくくれるので、x=0が解になるとして、残りの2次方程式が異なる2点を持てば良いわけです。

あぁ、普通。

 

2次方程式にaやbの文字が入ってるので、まさか解の公式で解くわけがないので、解と係数の関係を利用しようという発想になって、

2解をα、β(α<β)と置きます。

 

これでインテグラルが作れる。

インテグラルを作る際に、面積が5の方がS1、面積が32の方がS2とすると、

S1が0からαまでの積分、S2がαからβまでの積分です。

 

S1は積分区間に0が入ってるので計算が簡単ですが、S2は積分区間が両方とも文字(しかも、両方とも二次方程式の解)

これだと、その後の積分計算が面倒くさくなるので、0からβまでの積分を利用して、計算の工夫をします。

 

ただ、この辺りの積分の工夫は、やや難しいですね。

多くの受験生が、工夫せずにインテグラルを作って、たくさん登場する文字に困惑して撃沈したのではないでしょうか?

 

さて、インテグラルを作れたら、S1:S2=5:32から、等式が作れます。

あとは、等式からαとβの解を求めればOKと。

 

文章を書いていても、別に難しい流れはないんですよね~。

よく、ここまでシンプルな設定なのに、計算が面倒くさくて、解法までが限定された計算になる問題を作れたものだと思います。

 

(2)も面倒くさい

(1)で面倒な計算をくぐり抜けましたが、(2)もそれなりに面倒くさいです。

もう、このブログではお馴染みになりましたが、通過領域の問題です。

 

通過領域には3パターンの解法があります。

①解の配置(存在条件)

②包絡線

③ファクシミリ論法

 

②包絡線は、塾や予備校の先生が好きな話題なので、教科書から脱線して受験対策として教わることがあるかもしれませんね。

③ファクシミリ論法は、あまり聞かないかもしれませんが、一応あります。

 

が、東大文系を目指すなら、①の解法が出来るようになれば、十分だと思いますけどね。色々な解法を教えるのも良いんですが、定着するまでに通り過ぎてしまう場合もあるので。

 

ということで、僕の手書きの解答でも、①の解の配置で解いています。

二次の係数にxがあって、正と0と負の場合分けをするっていう、最後まで面倒な問題でした。

 

 

 

まとめ

いやー、駿台の4問、難しかったですねー。

終わった後だから言える話ですが、第1問、第2問で満点近く取って、第3問と第4問で部分点が何点かもらえたら、作戦的には勝ちでしょう。

40点~50点を上限に考えても良いのではないかと思います。

 

時間配分も、第3問と第4問はかなり時間がかかりますから、25分ずつの配分で考えていた人は、足元をすくわれたでしょう。

と、色々なトラップもありつつ、難しいラインナップでした。

 

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