場合の数・確率を体系的に学ぼう③ 教科書でバラバラに登場するパターンを整理して把握しよう
整理されてない知識は、覚えてないのと同じ
大好評の本シリーズ。
今回は第３回でございます。（過去のリンクはこちら）
第２回：場合の数・確率を体系的に学ぼう② 「並べるのはＰ、選ぶのはＣ」は間違い
今回で、第１部完結。
難関大を受けようと思ったら、ここまでを習得してないと話になりません。
というか、定期テストすら、高得点は不可能なレベル。
そのくせ、ちゃんとパターン分けして教わらないので、困ったものです。（僕も先生になってから、頭が整理されました。）
本を買ってあっても、買った事すら忘れてしまったり、本棚のどこにあるか分からないことがあると思います。
それは最早、本棚に存在していないようなもの。
知識も同じで、一度覚えたとしても、頭の中で整理されていなければ、覚えていないのと同じです。
覚えることばかりに執着せず、整理することにも時間や労力をかけることが、勉強のポイントです。
この５パターンを完璧に習得せよ！
では内容に入りましょう。
定期テストで誰もが混乱したことがあるであろう問題を用意してみました。
次の５つの問題、正確に答えられるでしょうか？
普通の定期テストレベルであれば、この５パターンをマスターすれば、赤点は免れるでしょう。そのくらい頻出です。
問Ａ、９人を２人、３人、４人に分けるのは何通り？
問Ｂ、９人をＡ組、Ｂ組、Ｃ組に分けるのは何通り？
問Ｃ、９人を３人、３人、３人に分けるのは何通り？
問Ｄ、９個のリンゴをＡさん、Ｂさん、Ｃさんに分けるのは何通り？
問Ｅ、９個のリンゴを３人に分けるのは何通り？
パターンの分類一覧
実は、この５パターンは、次の表のようにパターンで分けられています。
でも同じような事をやりましたが、今回はそれを少しだけ設定を複雑にしています。
「もの」と「行き先」に区別があるか、ないかで４パターン。
あり⇒あり のパターンだけは、数の制約があるかないかで、さらに２パターン分かれています。
この５パターンが教科書に登場しているパターンなのですが、
教科書に順番通りに登場しません。
つまり、頭の中でにバラバラの問題としてインプットされるので、いつまで経っても
整理されないのです。
例えば、数研出版の教科書で言えば、問Ｂが「重複順列」として、始めに登場します。
続いて、ｎＣｒの計算が登場した後に、問Ａが登場し、その応用として問Ｃが登場し、
発展内容として問Ｄが「重複を許す組み合わせ」というテーマで登場します。
問Ｅは、数えるだけなので登場しません。（入試にも、あまり出ませんが、頭の整理として紹介しています。）
是非、一度、お手持ちの教科書や問題集と、上の表を見比べてみてください。
問Ａの解説：９人を２人、３人、４人に分けるのは何通り？
では、１問ずつ解説しましょう。
問題Ａは、
ものに区別があり（９人はヒトだから）
行き先に区別があり（２人、３人、４人は、人数が違うから）
人数に制約もある
というパターンです。
上の画像の通りに計算します。
選んで、選んで、選ぶ、ということで、理解しやすく、覚えやすい。
正答率も高い問題です。
問Ｂの解説：９人をＡ組、Ｂ組、Ｃ組に分けるのは何通り？
問題Ｂは、問題Ａとちょっとだけ設定を変えます。
ものに区別があり（９人はヒトだから）
行き先に区別があり（Ａ組、Ｂ組、Ｃ組と名前が付いているから）
人数に制約がない
という問題です。
問題Ａは、２人、３人、４人という人数指定がありましたが、問題Ｂにはありません。何人ずつでも良いので、とにかく３グループに分けろ、という指示です。
さらに設定が２つに分かれます。（一人もいない組を認めるか、認めないか。）
それによって、解答はこうなります。
一人のいない組を認めない場合、全体から引き算する（余事象）の計算が入ります。
少し複雑な引き算にはなりますが、上で紹介した例が基本になりますので、是非とも習得して下さい。
問Ｃの解説：９人を３人、３人、３人に分けるのは何通り？
では問Ｃです。
これは、問Ａに似た解き方をします。
ものに区別があり（９人はヒトだから）
行き先に区別がない（３人、３人、３人は、人数も同じで名前がないから）
という設定なのですが、行き先に名前を無理矢理付けて、区別を発生させます。
すると、
ものに区別があり（９人はヒトだから）
行き先に区別があり（３人組Ｘ、３人組Ｙ、３人組Ｚは、人数は同じだが、名前があるので区別できる）
人数の制約もある
という、問Ａと全く同じ状況に持ち込めます。
問Ａと同じ計算をした後は、名前をつけた区別をなくすので、３！で割り算をして計算終わり。
ほとんど同じ計算が、
第２回：場合の数・確率を体系的に学ぼう② 「並べるのはＰ、選ぶのはＣ」は間違い
にも登場してますので、よかったらご確認下さいませ。
問Ｄの解説：９個のリンゴをＡさん、Ｂさん、Ｃさんに分けるのは何通り？
いわゆる、〇と／の問題。
教科書では、「重複を許す組み合わせ」として登場するパターンです。
ｎＨｒが登場する問題としても有名ですね。（その割に、使いこなせる人は少ない）
よく、ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｎの非負整数解（負でない整数解）の個数と対応させて教えられます。
９個のリンゴを、Ａさん、Ｂさん、Ｃさんに分けるというのは、
９個の数字の１を、ｘとｙとｚに振り分けるのと同じだと考えるわけですね。
画像を見てくれれば分かると思いますし、細かく説明しようとすると、問題のパターンが作れ過ぎて収集が付かなくなるので、ここまでにしておきます。
問Ｅの解説：９個のリンゴを３人に分けるのは何通り？
これは、数えて終わりです。
別に難しくないので、解答をどうぞ。
別のパターンを作ろうと思えば、作れる。
教科書にも、普通の問題集にも、上記の５パターンしかほとんど登場しません。
区別のある／なしを変えてみたり、数字を変えてみたりという設定の変更はありますが、マイナー問題。
まずは、今日の内容までを習得しましょう。
しかし、別にこれしか登場しないわけではありません。
例えば、
Ｑ、８人を２つの組に分ける方法は、何通りあるでしょう？
という問題は、上の５パターンのどれにも当てはまりません。
但し、解答を出すまでの考え方は、全て既に紹介していますから、応用すれば問題なく解けます。
他の問題への応用
今日はこの５パターンの紹介をしました。
教科書にも、普通の問題集にも、ここまでに紹介していない問題も登場します。
円順列、数珠順列、辞書式配列、道順などなど。
でも、ここまでにご紹介した方法を使えば、全て解けます。
つまり、「解くのが難しい」状態から脱出出来て、「応用の仕方を知らない」レベルまで昇華出来ます。
情報を整理して、順序を整え、体系的にまとめたつもりですので、是非ともご自身の勉強にご利用下さいませ。
