2018年 東大文系数学 第1問の解説(2次関数、距離の最小、領域図示)

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2018年 東大文系数学 第1問の解説(2次関数、距離の最小、領域図示)

まずはいつも通り問題からどうぞ。

解かずに分析(1)

初めに、私のスタイルの特徴である、解かずに分析コーナーを。
(入試問題は、解く前に問題文を通読し、読み取れる情報を全て読み取ることが大事です。)

放物線Cと領域Dに登場するのは、同じ放物線だということを確認して、その放物線Cの上側が領域Dだと認識。
また直線lと直線mは、原点を通り放物線Cに接するとのことですが、放物線の正体が分かっているので、計算すればすぐにでも求められます。(方法は、微分を使うか、判別式かで2通りあります。)
(1)を見ると、放物線上の点Aと直線l、直線mまでの距離をL、Mとすると書いてありますが、これも定番の求め方。
放物線Cの上の点を文字で置き、点と直線の距離の公式を使えば計算出来そうです。
ちょっと変わっているのは、LとMを使った最小値ではなく、√Lや√Mが登場するところ。
「なんだこのルートは!?」
と眉をひそめますが、計算しないと正体がわからない以上、なんか面白いことが起こるのかもしれないと放置で良いでしょう。

解かずに分析(1)

(2)に行くと、今度は領域図示の問題になりました。
しかも、px+qy≦0という見慣れない式が登場。
また、条件の中身が、領域Dのすべての点に対し、不等式が成り立つとあります。
一瞬、何を言ってるのか分からないかもしれませんが、こういう時に考える事は2つ
・わかんないから、別の問題を先にやろう(第1問(2)は後回しにしよう。)
・ちょっといじってみて、方針が分かったら解こうかな。
でしょう。
結果論ではありますが、この第1問(2)は、第4問までのバランスを考えると後回しにしても良い問題かと思います。
積極的に序盤で取り組む相手ではないかなと思いますね。
そんなことを考えつつ、(1)の細かい解説に入ってみましょう。

(1)予想通りの展開

さて、(1)の計算に入ってみましょう。
上で書いたとおり、直線lと直線mを求め、点Aを文字で置きます。
そして、点と直線の距離の公式を使ってLとMを求めると、なんと分子に2乗が登場!!
なるほど!!
√Lや、√Mは、この2乗が取れるって事ね♪(そだね~)
ということで、絶対値が二つ付いた式の最小値を求めることになります。
具体的には、一つ目の絶対値の中身が s-2で、二つ目の絶対値の中身が、s+2です。(点Aのx座標をsとしてます。)
これはアルアルの問題パターンで、sの値が真ん中辺りのときに全体の最小値を取ります。有名な結論。
今回は、一つ目の絶対値と、二つ目の絶対値の係数が違います。
片方だけ√5がくっつくので、ピッタリ真ん中にはならないのですが、真ん中あたりと言えば、真ん中あたりでしょう。
また、絶対値が複数ある関数のグラフで、しかも中身が直線の場合は、傾きだけ調べれば良いです。
そんなことを踏まえて、解答を書くとこんな感じになります。

(2)条件を読み替えて、不等号の向きで場合わけ!

では、問題の(2)です。
条件を確認しますが、領域Dに属する(x、y)が全て、px+qy≦0を満たすとのこと。
これを、もう少し直観的に分かるようにしてみましょう。
px+qy≦0を満たす領域をEとすると、DがEにスッポリはいってしまうということです。
イメージ図はこちら
赤い領域(D)が、青い領域(E)にスッポリ入ってしまいます。
そのために必要なのは、領域Eが、「y≧(なんちゃら)」というように、直線の上側の領域を表す不等号になることです。
そのため、qの符号を正と0と負で場合分けをします。
qが正の時には不適
qが0の時にも不適、
qが負の時には、放物線Cに接する時を考えます。
ここで登場するのが(1)の条件。
そういえば、傾きが1の時と、-7の時に接したなと。
ということで、傾きの条件を使うと、完了です。

2018年 東大文系数学 第1問の解答例

では解答を。

まとめ

東大文系にしては、標準か、やや難しいくらいでしょうか。
解いてみると、決して難しいことを聞かれているわけではないけど、試験会場で見ると難しく見えるんですよね。
これまで、解の配置を利用した領域図示の問題が頻出でしたが、今年は違うタイプの領域図示が出題されました。
今後、注意すべきテーマだと思いますので、しっかり勉強しておきましょう。

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