2018年 東大数学 文系第3問 理系第4問の解説(3次関数の解の配置、増減表)

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2018年 東大数学 文系第3問 理系第4問の解説

文系第3問

理系第4問

2018年は、文理の共通問題が3題されたんですが、そのうち2問は設定が同じなだけで、難易度に大きく差がある問題。共通ではあるけど、別問題のような感じでした。
残る1問が、上に貼り付けた問題なんですが、これはバッチリ共通問題といえるでしょう。違いといったら、文系に(1)が挿入されているだけです。
ということで、以下は文系第3問の解説のみ行います。(理系第4問も含んじゃいますので)

解かずに分析(1)

では、いつも通り解かずに分析です。
(1)ですが、問題の設定は非常にシンプル。パラメータが入った3次関数が与えられ、x≧1で単調増加になる条件を求めよ、というだけです。
関数が単調増加になる条件は、ご存知のとおり微分後の関数の符号が正になればよい。
つまり「x≧1で、常にf’(x)≧0となる条件」を求める」条件を求めることとなります。
また、頭の中でちょこっと微分して見れば分かりますが、f’(x)=0はx=aとx=-aで解を持ちます。
ということは、1とaの大小関係で場合分けかな?という予測が立てられるでしょう。
解く前から、この辺りまで読めれば十分だと思います。

解かずに分析(2)

(2)では、条件が二つ与えられています。
条件1:f(x)=bが異なる3解を持つ
条件2:その3つの解のうち、真ん中の解の大きさが1より大きい
とのこと。
条件1に関しては、物凄く有名な類題が存在します。いわゆる定数分離の問題です。
そして問題の条件2。
これが、2次関数だったら解の配置の問題が使えるのですが(こちらのリンク先の前半を参照)、今回は3次関数です。
2次関数と違って、体系的に型を教わっている受験生は少ないと思いますので、割とアドリブ対応していることが多いのではないかと思います。
うーん、どうやるんだろう・・・。と悩みつつ、(1)に手を付けていくのが現実的な所でしょう。

(1)増減表を書いて終わり!

では、もっと具体的に問題の解法の解説をしましょう。
先ほどの考え通り、微分して因数分解をして増減表を書きます。考える条件は、「x≧1で、常にf’(x)≧0となる」ことです。
ということは、f’(x)が負のところにx=1が来てはいけません。
つまり、x≧aの領域にx=1があれば良いので、求める条件は、a≦1です。
最後に、問題文の条件であるa>0と合わせて、0<a≦1とすれば完成です。
難なくクリアしたい問題でした。

(2)横ではなく、縦を見る

では、(2)ですが、条件1だけなら教科書の例題レベルの問題。
手書きの解答の左下の方に書きましたが、bが極大値と極小値の間にあればOKです。
難しいのは条件2の方。
β>1になるということは、真ん中の解が1より右側ということ。つまり、横の話をしているのですが、ポイントは縦に見れるかどうか。
つまり、y=bの直線と、x=1より下で交わるということです。

「え??そんなの思いつかないよ!」
と言ってはいけません。それなりに典型問題です。
「3次関数の解の配置では、横の比較が難しいときに、縦の比較をすることがある」
ということを覚えておきましょう。

これに気付けば、答えまでもうすぐ!
領域図示のために、交点を出したり、境界を含むかどうかを確認して答えを書いて下さい。
では、手書きの解答をどうぞ。

この問題は、パーフェクトに取りたいところ。
3次関数の解の配置の問題は、2次関数に比べて解く機会が少ないでしょうが、今後頻出になるかもしれませんね。
来年以降に受験する予定の方は、要チェックです!

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