2018年東大文系数学（第3問）・理系（第4問）入試問題の解答（答案例）・解説（３次関数の解の配置、増減表）

 

 

２０１８年は、文理の共通問題が３題されたんですが、そのうち２問は設定が同じなだけで、難易度に大きく差がある問題。共通ではあるけど、別問題のような感じでした。

残る１問が、上に貼り付けた問題なんですが、これはバッチリ共通問題といえるでしょう。違いといったら、文系に（１）が挿入されているだけです。

 

ということで、以下は文系第３問の解説のみ行います。（理系第４問も含んじゃいますので）

 

では、いつも通り解かずに分析です。

（１）ですが、問題の設定は非常にシンプル。パラメータが入った３次関数が与えられ、ｘ≧１で単調増加になる条件を求めよ、というだけです。

関数が単調増加になる条件は、ご存知のとおり微分後の関数の符号が正になればよい。

つまり「ｘ≧１で、常にｆ’（ｘ）≧０となる条件」を求める」条件を求めることとなります。

 

また、頭の中でちょこっと微分して見れば分かりますが、ｆ’（ｘ）＝０はｘ＝ａとｘ＝－ａで解を持ちます。

ということは、１とａの大小関係で場合分けかな？という予測が立てられるでしょう。

解く前から、この辺りまで読めれば十分だと思います。

 

（２）では、条件が二つ与えられています。

条件１：ｆ（ｘ）＝ｂが異なる３解を持つ

条件２：その３つの解のうち、真ん中の解の大きさが１より大きい

とのこと。

 

条件１に関しては、物凄く有名な類題が存在します。いわゆる定数分離の問題です。

 

そして問題の条件２。

これが、２次関数だったら解の配置の問題が使えるのですが（こちらのリンク先の前半を参照）、今回は３次関数です。

２次関数と違って、体系的に型を教わっている受験生は少ないと思いますので、割とアドリブ対応していることが多いのではないかと思います。

 

うーん、どうやるんだろう・・・。と悩みつつ、（１）に手を付けていくのが現実的な所でしょう。

 

では、もっと具体的に問題の解法の解説をしましょう。

先ほどの考え通り、微分して因数分解をして増減表を書きます。考える条件は、「ｘ≧１で、常にｆ’（ｘ）≧０となる」ことです。

 

ということは、ｆ’（ｘ）が負のところにｘ＝１が来てはいけません。

つまり、ｘ≧ａの領域にｘ＝１があれば良いので、求める条件は、ａ≦１です。

最後に、問題文の条件であるａ＞０と合わせて、０＜ａ≦１とすれば完成です。

難なくクリアしたい問題でした。

 

では、（２）ですが、条件１だけなら教科書の例題レベルの問題。

手書きの解答の左下の方に書きましたが、ｂが極大値と極小値の間にあればＯＫです。

 

難しいのは条件２の方。

β＞１になるということは、真ん中の解が１より右側ということ。つまり、横の話をしているのですが、ポイントは縦に見れるかどうか。

つまり、ｙ＝ｂの直線と、ｘ＝１より下で交わるということです。

 

これに気付けば、答えまでもうすぐ！

領域図示のために、交点を出したり、境界を含むかどうかを確認して答えを書いて下さい。

では、手書きの解答をどうぞ。

この問題は、パーフェクトに取りたいところ。

３次関数の解の配置の問題は、２次関数に比べて解く機会が少ないでしょうが、今後頻出になるかもしれませんね。

来年以降に受験する予定の方は、要チェックです！

 

敬天塾作成の解説

2018(3)文数　解説

こちらのｐｄｆファイルは無料でダウンロードいただけます。
受験生の学習はもちろん、先生方の授業にお役に立てるのであれば、どうぞご自由にお使いください。
断りなしに授業時にコピペして生徒に配布するなども許可していますが、その際「敬天塾の答案である」ということを必ず明記していただくようお願いします。
ただし、無断で転売することは禁止しております。何卒ご了承ください。