2018年 東大文系数学 第4問の解説(ベクトル、領域図示、面積)

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2018年 東大文系数学 第4問の解説(ベクトル、領域図示、面積)

 

何度も書いてますが、2018年は領域図示ばっかりでした。本当に珍しい。

そして当然、それぞれ3問が同じ方法で図示出来ない問題です。

領域図示と言えば、図形と方程式や、軌跡と領域の範囲が思い浮かべますが、ベクトルにも登場します。

それが、この問題。しかも平行移動や軌跡も絡む応用問題です。理解出来れば簡単な問題ですが、手持ちの参考書や問題集で、このような応用的な類題を探すのは難しいかもしれません。

とにもかくにも、詳しい解説に行って見ましょう。

解かずに分析

では、恒例の解かずに分析コーナー。

(1)をよく見て下さい。ベクトルが色々出てきますが、最も大切なのは最後です。

結局は軌跡を求める問題なのです。

 

先生によって色々な教え方があるでしょうが、私は普段、軌跡の問題には3パターンあると教えています。

今回は、点Pが動くことによって、求める軌跡の点Qが動いていくパターンなので、問題集で言うとこのパターンと同じです。

私はこのパターンを「連動型」と呼んでいますが、こいつを応用すると(1)が解けます。

 

ちなみに、「連動型」の軌跡では、元の動点と、求める軌跡が相似な図形になります。今回は、点Pが放物線を動きますから、点Qも放物線を動くのではないかと予想出来ます。

 

ということで、早速手書きの解答を出してしまいましょう。

主に、左の真ん中までをご覧ください。

(2)図形ごと平行移動

では(2)ですが、(1)と違うのはベクトルORが存在することです。

 

その点Rの定義を確認してみると、原点と点A(1,0)の間のだとのこと。

ということは、ベクトルORを足すというのは、x軸方向に0~1平行移動させるということです。

 

(1)の結果が放物線でしたが、これを踏まえると(2)の結果は放物線を平行移動させることになりそうです。

点Pと点Rは、それぞれ独立に(お互いに影響せずに)動きますから、放物線全体を移動させると考えてOK。

ということで、手書きの解答の残りの部分のようになります。

面積計算

最後に面積計算が残りますが、東大では面積計算を少し工夫して求めることが多いような気がします。

特に頻出は「対称性」

どこかで線を引くと、左右や上下で同じ図形が登場することが多く、今回も、x=1/2で左右対称になります。

絶対に気付かなきゃいけないポイントではないですが、気付いたら得点率が上がりますから、積極的に取り入れたいところです。

 

また、積分計算はそこそこ面倒なことが多い気がします。

果たして残りの時間を費やしてまで、積分計算に取り組むかどうかは難しいところ。他にコスパが良い問題があれば、積分計算は飛ばすのも良いでしょう。

2年連続でベクトルと領域の問題が出た

さて、ベクトルと領域の問題は、2年連続でした。

東大では、同じような問題が連続して出ることは珍しく、毎回違うような問題が出ることを原則として分析します。
つまり、同じような問題が出た時は特に取り上げて考えます。

誰でも単純に考えられますが、例えば、「去年の過去問対策をしっかりしているか?」というと取るとか。

これです。

2017年 東大文系数学 第2問の解説

 

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