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２０１８年　東大文系数学　第２問の解説（連続数と離散数、反復試行の最大値、コンビネーションなど）

解かずに分析　わからない時こそ「ググる」解法

コンビネーションと階乗が含まれた数列の一般項が与えられています。
これに対して、（１）ではａ７と１の大小比較をさせ、（２）では、ａｎ／ａｎ－１と１との大小比較をさせます。（そして、それを満たすｎを求める。）
そして、（３）では整数となるａｎを全て求めよとのこと。
あれあれ、あまり見たことがない問題だぞ？と思うかもしれません。
こういう問題の時こそ、問題文を丁寧に読むのが大事！
拙ブログでずっと言っている「ググる」解法です。
ａｎ／ａｎ－１＜１の証明は、どこかで見た事がないでしょうか？

反復試行の最大値・最小値の問題

実は、受験数学でちょっとだけ登場します。
教科書で勉強していると出会わないかもしれませんが、例えば青チャートレベルの問題集（問題カタログ）を勉強していると必ず登場するタイプがあります。
「反復試行の最大値・最小値」の問題です。
どうでしょう？

ａｎ／ａｎ－１（と同じ主張の、Ｐｋ＋１／Ｐｋが登場しているのが分かりますか？
この問題を踏まえていると解ける問題でした。

連続数と離散数

この問題を連想できるようになる前に、一つ概念を知って下さい。
「離散数」と「連続数」という概念があります。

離散数というのは隙間がある数字のこと、一方で連続数というのは隙間がない数字のことです。

離散数の代表は、整数や自然数です。
１と２の間に、整数があるでしょうか？ありません。１の次は２です。

しかし、実数だったらどうでしょう？
１と２の間には１．５や１．３があります。１と１．３の間にも１．２があります。
このように、どんな２つの数を選んでも、必ず間に数字があるのが、連続数です。

単元で言うと、１次関数、２次関数、三角関数などの関数の分野は、扱う数が連続数（隙間がない）です。
一方で、整数や数列（の項数）などは、離散数（隙間のある）です。

離散数の最大最小問題

そして、一般に最大最小問題というのは、連続数に対して応えさせることが多いのです。
連続数はグラフを描くことが出来ます。
３次関数（理系なら、三角関数や指数関数、対数関数）は微分すればグラフの増減が求められるのです。

しかし、数列や整数の最大最小問題は、ちょっと違った解法になります。
先ほど、反復試行のの最大値・最小値の問題をお見せしましたが、他にもこんな典型問題があります。

直接、平方完成して最大値を求める事も出来ますが、別解扱い。普通は、ａｎが正や負になる境界を見極めて計算します。

（１）と（２）誘導の見極め

（１）ではａ７を求め、１と比較させました。
そして、（２）では、ａｎとａｎ－１のどちらが大きくなるかを求めます。
そして、反復試行の最大最小問題を思い出せば、もう簡単。
ようするに、ａ７以降はずっと１より小さいため、整数は登場しないことが分かります。
つまり、答えはａ６までの中になるのではないか？
と想像出来れば、もう簡単。
恐らく、上に書いた情報をまとめて考えれば、最後まで解答が書けるのではないかと思います。
では、手書きの解答をどうぞ。

まとめ

今回は、超頻出ではないものの、頻出パターンを押さえておけるかどうかが大切でした。
唐突ですが、皆さん「基礎」とは何だと思いますか？
「基礎」と聞くと、簡単な問題のことだと思う人が多いかと思いますが、実はそれは「入門」のことです。
基礎と入門は違います。
基礎とは、その道の専門家やプロが口をそろえて重要だと言うことだと、私は思います。
今回の、離散数の扱いに関しても、（教科書のそのようなテーマで記述されていないですが）、重要なテーマです。
この問題から学び、習得して下さいね。

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