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2018年 東大文系数学 第2問の解説(連続数と離散数、反復試行の最大値、コンビネーションなど)

解かずに分析 わからない時こそ「ググる」解法

コンビネーションと階乗が含まれた数列の一般項が与えられています。
これに対して、(1)ではa7と1の大小比較をさせ、(2)では、an/an-1と1との大小比較をさせます。(そして、それを満たすnを求める。)
そして、(3)では整数となるanを全て求めよとのこと。
あれあれ、あまり見たことがない問題だぞ?と思うかもしれません。
こういう問題の時こそ、問題文を丁寧に読むのが大事!
拙ブログでずっと言っている「ググる」解法です。
an/an-1<1の証明は、どこかで見た事がないでしょうか?

反復試行の最大値・最小値の問題

実は、受験数学でちょっとだけ登場します。
教科書で勉強していると出会わないかもしれませんが、例えば青チャートレベルの問題集(問題カタログ)を勉強していると必ず登場するタイプがあります。
「反復試行の最大値・最小値」の問題です。
どうでしょう?

an/an-1(と同じ主張の、Pk+1/Pkが登場しているのが分かりますか?
この問題を踏まえていると解ける問題でした。

連続数と離散数

この問題を連想できるようになる前に、一つ概念を知って下さい。
「離散数」と「連続数」という概念があります。

離散数というのは隙間がある数字のこと、一方で連続数というのは隙間がない数字のことです。

離散数の代表は、整数や自然数です。
1と2の間に、整数があるでしょうか?ありません。1の次は2です。

しかし、実数だったらどうでしょう?
1と2の間には1.5や1.3があります。1と1.3の間にも1.2があります。
このように、どんな2つの数を選んでも、必ず間に数字があるのが、連続数です。

単元で言うと、1次関数、2次関数、三角関数などの関数の分野は、扱う数が連続数(隙間がない)です。
一方で、整数や数列(の項数)などは、離散数(隙間のある)です。

離散数の最大最小問題

そして、一般に最大最小問題というのは、連続数に対して応えさせることが多いのです。
連続数はグラフを描くことが出来ます。
3次関数(理系なら、三角関数や指数関数、対数関数)は微分すればグラフの増減が求められるのです。

しかし、数列や整数の最大最小問題は、ちょっと違った解法になります。
先ほど、反復試行のの最大値・最小値の問題をお見せしましたが、他にもこんな典型問題があります。

直接、平方完成して最大値を求める事も出来ますが、別解扱い。普通は、anが正や負になる境界を見極めて計算します。

(1)と(2)誘導の見極め

(1)ではa7を求め、1と比較させました。
そして、(2)では、anとan-1のどちらが大きくなるかを求めます。
そして、反復試行の最大最小問題を思い出せば、もう簡単。
ようするに、a7以降はずっと1より小さいため、整数は登場しないことが分かります。
つまり、答えはa6までの中になるのではないか?
と想像出来れば、もう簡単。
恐らく、上に書いた情報をまとめて考えれば、最後まで解答が書けるのではないかと思います。
では、手書きの解答をどうぞ。

まとめ

今回は、超頻出ではないものの、頻出パターンを押さえておけるかどうかが大切でした。
唐突ですが、皆さん「基礎」とは何だと思いますか?
「基礎」と聞くと、簡単な問題のことだと思う人が多いかと思いますが、実はそれは「入門」のことです。
基礎と入門は違います。
基礎とは、その道の専門家やプロが口をそろえて重要だと言うことだと、私は思います。
今回の、離散数の扱いに関しても、(教科書のそのようなテーマで記述されていないですが)、重要なテーマです。
この問題から学び、習得して下さいね。

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