2018年 東大理系数学 第5問の解説(複素数平面、図形と座標、放物線)

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2018年 東大理系数学 第5問の解説(複素数平面、図形と座標、放物線)

さあ、東大頻出の複素数。苦手の人も多いと思います。行って見ましょう。
 
 

(1)の方針 複素数の図形は時間がかかる

図を描きながら、条件を追ってみましょう。まず、単位円上に点P(z)があり、円に対しての接線を引きます。その接線に対して、点A(1)と対称な点Q(u)を設定したあと、そのuに対してwを定義して、uやwに関する式を求めるというもの。
要するに、z → u → w の順に点を設定していくわけです。
uとwの関係式は問題文に与えられていますから、zとuの関係式を正確に求められれば(1)はもらいですね。
 
問題なのは、円の接線や、線対称が登場するところです。なぜかと言うと、座標の上で図形を扱う問題は厄介になり易いからです。
図形が登場すると解法が1つに定まらず、ハマらない解法で解くとやたらと時間がかかる事が多いのです。
 
予備校の模範解答では、簡単そうに解いてますが、それは模範解答だからであって、この模範解答に辿り着くまで、色々試さなければならないでしょう。時間がかかることを覚悟しなければならない問題です。
 

複素数zの範囲の絞り方が難しい

(2)では、zの条件を絞り、点R(w)の軌跡を求める問題です。
先ほども書きましたが、zとuの関係式も、uとwの関係式も、この時点では判明していますから、素直にwをw=x+yiとおきxとyの関係式を求めれば良いでしょう。
 
難しいポイントは、zの条件です。
zが単位円の上の一部だけしか動かなくなります。実部が1/2以下だけと言うことなんですが、これをwに反映するのが難しいのです。
予備校の解答も割れていましたし、どれも「そうすれば解けるのはわかるけど、なぜその発想になるのかがわからない」という感じ。複素数平面の入試問題では、こういうことがよくあります。
これに関して、少しまとめてみましょう

偏角か、絶対値か、a+biと置くか

複素数平面というのは、非常に汎用性が高い技術です。
まず、複素数をa+biとおくことがありますが、これはxy座標を意識した文字の置き方です。
これに対して、絶対値と偏角を利用するのは、極座標を意識した設定の仕方。
ということで、基本的に2種類の座標のどちらで解くかという判断が必ず生じます。
また、複素数の和と差は平行移動を表しますし、積と商は回転や原点からの距離の変換を表します。ということは、ベクトルみたいな計算の仕方もするし、三角関数も登場する。指数も登場するし、方程式の概念も使うし、図形も絡む。
ようするに、何でもアリの単元なのです。
 
そのため、解法が様々に分岐して体系的に学べないという、困ったことが生じます。本当に受験生泣かせの単元です。

2018年 東大理系数学 第5問の手書きの解答

今回は、入試問題の解説記事なので、解説や導出の全てを書く事は出来ませんが、予備校の解答速報では特定の解法しか登場していなかったので、私の手書きの解答では、3パターン載せておきました。
意外とゴリ押しでも行けてしまう問題だったかもしれませんね。
 
では、どうぞ。
 

補足として(2)解法3の、xとyの範囲の求め方を載せておきます。

微分しても良いでしょう。
図示の問題では、高得点を取る事が難しくなります。
この問題は、構成としてはスタンダードな問題なんですが、随所に混乱させるようなポイントが混ざっています。
その分、復習に非常に適した問題ですから、何度も解きなおしてみて下さいね。
 

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