２００２年　東大数学　文系第２問　理系第２問　の解説（漸化式、帰納法、整数の証明、背理法

２００２年　東大数学　文系第２問　理系第２問

２００２年　東大数学　文系第２問　理系第２問

入試前日ですが、少しでもためになるようにと、今日もアップします。

今日も整数問題。そして、これも東大で頻出パターンです。

本質的に同じ問題

これまでは、共役な無理数のｎ乗のパターンを書いてきましたが、今日は別の問題です。しかし背景として同じ考え方を使っています。ぜひ、１９９７年の問題、２００３年の問題、２０１７年の問題と比較してください。これまでの３問は、帰納法で証明するために、３項間の漸化式を作っていましたが、この問題も（１）で漸化式を作らせています。今回は、一見、３0項間漸化式ではなく、ａｎとｂｎの混合した漸化式ですが、実は３項間漸化式です。このような、２種混合漸化式は、片方を消去してもう片方だけ残すと、３項間の漸化式が登場するのです。（実際するかどうかは別）また、（２）では、「ａｎとｂｎが正の整数であることを証明せよ」という問題があります。これも、過去の３問と同じ。ということで、①漸化式を作り、②帰納法で証明、③整数であることを証明などの点で、本質的に同じ問題なのです。

漸化式の作り方を、そっくりそのまま覚えよう

では、その漸化式の作り方ですが、これは超有名な方法です。そのまま覚えてほしいですね。ｎに対して漸化式が定義されている時に、ｎ＋１の場合を２種類で表現して、恒等式で比較します。具体的には、このような方法。

漸化式の作り方

「２種類の式を作り比較する」という点が重要です！

「互いに素」の証明は、背理法を利用！

では、（２）の証明の最後に行きましょう。「互いに素」の証明は、ほとんどテンプレで背理法をつかいます。その理由ですが、「互いに素」な２数は立式ができないから。ｘとｙが互いに素というのは、「ｘとｙに１以外の公約数を持たない」ですね。つまりｘとｙの間に関係式が立てられないのです。そこで、背理法で条件を否定しますと、「ｘとｙが１以外の公約数を持つ」となりますね。すると、ｘ＝ｘ’ｇｙ＝ｙ’ｇ　（ただし、ｘ’とｙ’は互いに素、ｇ≧２となる自然数）となり、最大公約数ｇを介して、ｘとｙが関係を持てるわけです。

帰納法で背理法をはさめ！

さて、最後ですが、この問題の一番難しいところです。それは、帰納法と背理法を同時に使わなければならないところです。帰納法自体が、使ってよい式と使っていけない式で混乱しやすい技術なのですが、さらに背理法を同時に使うと、かなり混乱してしまうでしょう。そこで意識するのは、背理法や帰納法の記述している範囲を明確に定めて使うということです。これを意識して、手書きの解答をご覧ください。帰納法のｎ＝ｋ＋１の場合の中に、青い枠で背理法を利用しているのが分かるとおもいます。

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