2002年 東大数学 文系第2問 理系第2問 の解説(漸化式、帰納法、整数の証明、背理法

2002年 東大数学 文系第2問 理系第2問

     

今日も整数問題。 そして、これも東大で頻出パターンです。  

本質的に同じ問題

これまでは、共役な無理数のn乗のパターンを書いてきましたが、今日は別の問題です。
しかし背景として同じ考え方を使っています。ぜひ、1997年の問題2003年の問題2017年の問題と比較してください。

これまでの3問は、帰納法で証明するために、3項間の漸化式を作っていましたが、この問題も(1)で漸化式を作らせています。

今回は、一見、30項間漸化式ではなく、anとbnの混合した漸化式ですが、実は3項間漸化式です。
このような、2種混合漸化式は、片方を消去してもう片方だけ残すと、3項間の漸化式が登場するのです。 (実際するかどうかは別)

また、(2)では、「anとbnが正の整数であることを証明せよ」という問題があります。これも、過去の3問と同じ。   ということで、①漸化式を作り、②帰納法で証明、③整数であることを証明などの点で、本質的に同じ問題なのです。

 

漸化式の作り方を、そっくりそのまま覚えよう

では、その漸化式の作り方ですが、これは超有名な方法です。そのまま覚えてほしいですね。 nに対して漸化式が定義されている時に、n+1の場合を2種類で表現して、恒等式で比較します。

具体的には、このような方法。

漸化式の作り方

「2種類の式を作り比較する」という点が重要です!  

「互いに素」の証明は、背理法を利用!

では、(2)の証明の最後に行きましょう。 「互いに素」の証明は、ほとんどテンプレで背理法をつかいます。

その理由ですが、「互いに素」な2数は立式ができないから。
xとyが互いに素というのは、「xとyに1以外の公約数を持たない」ですね。
つまりxとyの間に関係式が立てられないのです。

そこで、背理法で条件を否定しますと、「xとyが1以外の公約数を持つ」となりますね。すると、 x=x’g y=y’g (ただし、x’とy’は互いに素、g≧2となる自然数) となり、最大公約数gを介して、xとyが関係を持てるわけです。

 

帰納法で背理法をはさめ!

さて、最後ですが、この問題の一番難しいところです。
それは、帰納法と背理法を同時に使わなければならないところです。
帰納法自体が、使ってよい式と使っていけない式で混乱しやすい技術なのですが、さらに背理法を同時に使うと、かなり混乱してしまうでしょう。 

そこで意識するのは、背理法や帰納法の記述している範囲を明確に定めて使うということです。

これを意識して、手書きの解答をご覧ください。 帰納法のn=k+1の場合の中に、青い枠で背理法を利用しているのが分かるとおもいます。  

2002年東大数学 文系第2問 理系第2問_000017

まとめ

キーワード 漸化式、帰納法、整数の証明、あたりはいつも同じ。 これに加えて、背理法の利用法が加わった面白い問題でした。 とても良い問題ですので、ぜひ使えるように勉強してください!  

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