2019年東大理系数学（第1問）入試問題の解答（答案例）・解説（定積分、置換、計算力）

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２０１９年　東大数学理系第１問

では、今日から１問ずつ、東大数学の解説をしていこうと思います。

この理系第１問は、今年の入試で一番話題になった問題でしょうね。

東大は計算力のある学生を求めている

第１問に、ただの定積分の計算問題。

これは、かなりのショッキングです。東大数学では、話題になる問題が度々登場しますが、これもかなり話題になるでしょう。

東大数学では、昔に比べて、思考力よりも計算力重視になったといわれますが、これもその流れを汲んでいるような気がします。

僕が東大の理系に入学したときに、初めの数学の授業で

「２の３乗根を、少数第２位まで求めよ。」

という問題を出されました。

要するに、３桁くらいの３乗の計算をひたすら繰り返し、２を超えるかどうかをチェックし続けるという問題です。

日本の数学教育の特徴は、計算力だという指摘を聞きますが、それも失われているのでしょうか。

これはワナだ！！

そして、このような計算が面倒な問題が、しかも第１問に登場したら、「ワナの問題」です。

（あ、これは計算すれば解けるかも！！）

と瞬間的に思って飛びつき、一生懸命に計算していたら、ついつい４～５０分経ってしまった。しかも、入試が終わったあと見直してみると、計算ミスを発見。

これで、４～５０分も０点解答を作るのに時間を浪費した、不合格の受験生が出来上がり、というわけです。

「計算量が多い問題こそ警戒せよ」

というのが、数学の入試の鉄則なのです。

解法は基本的

では、解くために必要な問題を解説しましょう。

複雑な積分が登場し、どうやって計算するか悩むわけですが、重要な特徴は

・インテグラルの中身が、積になっている

・１＋ｘ＾２が分母にたくさん登場する

・かならず置換積分を実行する

という３点でしょう。

カッコを展開してから計算するのか、それともいきなり置換を実行するのか。

などなど、色々と試して計算をします。

結局は、いきなり展開しても、いきなり置換しても解法が存在するのですが、すぐに判断するのはやや難しいので、やはり試しながら気づいていくのがスタンダードな解法でしょうか。

ｔａｎの置換か、分母をひとまとめの置換か

このような問題の場合、２つの置換の方針があります。

一つは、１＋ｘ＾２を見て、ｔａｎの置換を利用する。

もう一つは、分母をひとまとめに置換する（１＋ｘ＾２＝ｔ）

の２つの方針が登場します。

色々なタイミングで、色々と試して、可能な計算方法を見つけてください。

一応、私が解いた解法を載せておきます。（多分、結構かんたんな解法だと思いますが、いかがでしょう）

まとめ

すぐに積分の方針が経てば、即取り掛かり２０点もらう。

すぐに方針が経たなければ、即飛ばす

という、典型的な問題でした。

新高３生の練習問題としても、良い問題ですね。ぜひ取り組んでみてください。

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