2019年 東大数学 理系第1問(定積分、置換、計算力)

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2019年 東大数学理系第1問

では、今日から1問ずつ、東大数学の解説をしていこうと思います。

この理系第1問は、今年の入試で一番話題になった問題でしょうね。

 

東大は計算力のある学生を求めている

第1問に、ただの定積分の計算問題。

これは、かなりのショッキングです。東大数学では、話題になる問題が度々登場しますが、これもかなり話題になるでしょう。

東大数学では、昔に比べて、思考力よりも計算力重視になったといわれますが、これもその流れを汲んでいるような気がします。

 

僕が東大の理系に入学したときに、初めの数学の授業で

「2の3乗根を、少数第2位まで求めよ。」

という問題を出されました。

 

要するに、3桁くらいの3乗の計算をひたすら繰り返し、2を超えるかどうかをチェックし続けるという問題です。

 

日本の数学教育の特徴は、計算力だという指摘を聞きますが、それも失われているのでしょうか。

これはワナだ!!

そして、このような計算が面倒な問題が、しかも第1問に登場したら、「ワナの問題」です。

 

(あ、これは計算すれば解けるかも!!)

と瞬間的に思って飛びつき、一生懸命に計算していたら、ついつい4~50分経ってしまった。しかも、入試が終わったあと見直してみると、計算ミスを発見。

 

これで、4~50分も0点解答を作るのに時間を浪費した、不合格の受験生が出来上がり、というわけです。

 

「計算量が多い問題こそ警戒せよ」

というのが、数学の入試の鉄則なのです。

解法は基本的

では、解くために必要な問題を解説しましょう。

複雑な積分が登場し、どうやって計算するか悩むわけですが、重要な特徴は

・インテグラルの中身が、積になっている

・1+x^2が分母にたくさん登場する

・かならず置換積分を実行する

という3点でしょう。

 

カッコを展開してから計算するのか、それともいきなり置換を実行するのか。

などなど、色々と試して計算をします。

 

結局は、いきなり展開しても、いきなり置換しても解法が存在するのですが、すぐに判断するのはやや難しいので、やはり試しながら気づいていくのがスタンダードな解法でしょうか。

tanの置換か、分母をひとまとめの置換か

このような問題の場合、2つの置換の方針があります。

一つは、1+x^2を見て、tanの置換を利用する。

もう一つは、分母をひとまとめに置換する(1+x^2=t)

の2つの方針が登場します。

 

色々なタイミングで、色々と試して、可能な計算方法を見つけてください。

 

一応、私が解いた解法を載せておきます。(多分、結構かんたんな解法だと思いますが、いかがでしょう)

 

まとめ

すぐに積分の方針が経てば、即取り掛かり20点もらう。

すぐに方針が経たなければ、即飛ばす

という、典型的な問題でした。

新高3生の練習問題としても、良い問題ですね。ぜひ取り組んでみてください。

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