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２０１９年 東大数学 文系第１問 理系第２問
今日も解説行きましょう。
文系第１問と理系第２問が共通問題だったので、同時に解説してしまいます。
文系の問題はこちら
理系の問題はこちら
共通問題なので、似てますね。しかし、文系と理系で大きく違うわけではありません。というか、理系の問題が文系で出されてもおかしくないような気も。
まずは、この話のカラクリを解説しましょう。
直角にかかわる図形が出たら、座標を設定せよ！
理系の問題を再度ご覧ください。
ただ単に正方形が与えられ、辺の上を点が動いています。
これを図形の問題として解くこともできるのですが、ここで大切なポイントがあります。
それは
「直角関係の図形が登場したら、座標を設定せよ！」
正方形、長方形、直角三角形や立方体など、角度に直角を含むような図形を見かけたら、座標の設定を考えるのです。
これにより、式の処理がとても簡単に済むことが多々あります。
それを踏まえて、文系の問題をみてみましょう。
問題文の中に、すでに座標が設定されていますね。
つまり、理系の問題は、「座標の設定ができるか？」という考え方を問われていたわけです。
元と式の本数を数えよ！
座標を設定すると、ｐとｑとｒの３文字が登場することが分かります。
このように、不明な量（連立方程式の時に登場する文字の数）を元と言います。中２で習ったアレは、２元連立方程式と言ったりしますよね。
これに対して、三角形の面積が１／３という条件が２つ。つまり、等式が２本立つことが分かります。
さて、３つの元に対して、２本の式が立ちますが、この数字が大切です。
解ける連立方程式では、元＝式の本数
通常の連立方程式では、元の数と式の本数が等しくなって、全ての元の値が求められます。
例えば、
２ｘ＋３ｙ＝１０
ｘ－ｙ＝５
のような連立方程式ならば、２元で２式なので、ｘとｙの値が求められる、といった具合。
このように、元＝式の本数 の場合、連立方程式が解けるのです。
元ー式の本数 で残る文字の数が分かる。
この問題では、３元と２式の問題でしたが、このような時にはどうなるでしょうか？
結論から言ってしまうと、３－２＝１と計算して、１文字分の不明量が残ると考えます。
公式化するなら、「元ー式の本数＝残る文字の個数」だということです。
今回は、ｐとｑとｒの３元でしたが、どれか１つの元だけ残して、他の２つを消去するのです。
すなわち
①ｐとｑを消去して、ｒを残す
②ｐとｒを消去して、ｑを残す
③ｑとｒを消去して、ｐを残す
の３方針が立つのです。
どれを採用しても、最後には１文字の問題になります。
文系（１）のカラクリを解き明かそう
これを踏まえて、文系（１）の問題をご覧ください。
「ｑとｒをｐで表し」とありますね。これは、上の３方針のうち
③ｑとｒを消去し、ｐを残す
を採用する問題だということですね。
ちなみに、理系ならｑを残す方針でも解けますね。お好きな方でどうぞ。
開始数分でここまで読め！！
そして、求めるのは何でしょうか？
文系では、ＣＲ／ＯＱで、理系ではＤＲ／ＡＱとなってますが、文字に直せばどちらもｒ／ｑの値です。
しかし、上記の方針から、ｒもｑもｐで表すので、結局は
「（何らかのｐの式）の最大最小を求めよ」
という問題になります。
さて、ここまで長々と書いてきましたが、ここまでは問題を見て、開始数分で検討すことです。解きながら気づいてはいけません。このような訓練を徹底的に積むと、本番でも容易にできるようになるでしょう。
では、手書きの解答をどうぞ、ご覧ください。
結局は３次関数
求めるのが分数式だったのですが、ｐに統一してしまうと、なんと分母に文字が消えて、ただの３次関数になってしまいます。
ということは、定義域を求めて、増減表を描いて終わり♪
これは、取りたい問題でした（文理ともに）
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