２０１９年　東大数学　文系第１問　理系第２問（座標と図形、元と式の本数、最大最小）

２０１９年　東大数学　文系第１問　理系第２問

今日も解説行きましょう。 文系第１問と理系第２問が共通問題だったので、同時に解説してしまいます。   文系の問題はこちら  

理系の問題はこちら

共通問題なので、似てますね。しかし、文系と理系で大きく違うわけではありません。というか、理系の問題が文系で出されてもおかしくないような気も。   まずは、この話のカラクリを解説しましょう。

直角にかかわる図形が出たら、座標を設定せよ！

理系の問題を再度ご覧ください。

ただ単に正方形が与えられ、辺の上を点が動いています。 これを図形の問題として解くこともできるのですが、ここで大切なポイントがあります。 それは 「直角関係の図形が登場したら、座標を設定せよ！」   正方形、長方形、直角三角形や立方体など、角度に直角を含むような図形を見かけたら、座標の設定を考えるのです。 これにより、式の処理がとても簡単に済むことが多々あります。   それを踏まえて、文系の問題をみてみましょう。

問題文の中に、すでに座標が設定されていますね。 つまり、理系の問題は、「座標の設定ができるか？」という考え方を問われていたわけです。

元と式の本数を数えよ！

座標を設定すると、ｐとｑとｒの３文字が登場することが分かります。 このように、不明な量（連立方程式の時に登場する文字の数）を元と言います。中２で習ったアレは、２元連立方程式と言ったりしますよね。   これに対して、三角形の面積が１／３という条件が２つ。つまり、等式が２本立つことが分かります。   さて、３つの元に対して、２本の式が立ちますが、この数字が大切です。

解ける連立方程式では、元＝式の本数

通常の連立方程式では、元の数と式の本数が等しくなって、全ての元の値が求められます。 例えば、 ２ｘ＋３ｙ＝１０ ｘ－ｙ＝５ のような連立方程式ならば、２元で２式なので、ｘとｙの値が求められる、といった具合。 このように、元＝式の本数　の場合、連立方程式が解けるのです。  

元ー式の本数　で残る文字の数が分かる。

この問題では、３元と２式の問題でしたが、このような時にはどうなるでしょうか？ 結論から言ってしまうと、３－２＝１と計算して、１文字分の不明量が残ると考えます。 公式化するなら、「元ー式の本数＝残る文字の個数」だということです。   今回は、ｐとｑとｒの３元でしたが、どれか１つの元だけ残して、他の２つを消去するのです。 すなわち ①ｐとｑを消去して、ｒを残す ②ｐとｒを消去して、ｑを残す ③ｑとｒを消去して、ｐを残す の３方針が立つのです。 どれを採用しても、最後には１文字の問題になります。

文系（１）のカラクリを解き明かそう

これを踏まえて、文系（１）の問題をご覧ください。 「ｑとｒをｐで表し」とありますね。これは、上の３方針のうち ③ｑとｒを消去し、ｐを残す を採用する問題だということですね。   ちなみに、理系ならｑを残す方針でも解けますね。お好きな方でどうぞ。  

開始数分でここまで読め！！

そして、求めるのは何でしょうか？ 文系では、ＣＲ／ＯＱで、理系ではＤＲ／ＡＱとなってますが、文字に直せばどちらもｒ／ｑの値です。   しかし、上記の方針から、ｒもｑもｐで表すので、結局は 「（何らかのｐの式）の最大最小を求めよ」 という問題になります。   さて、ここまで長々と書いてきましたが、ここまでは問題を見て、開始数分で検討すことです。解きながら気づいてはいけません。このような訓練を徹底的に積むと、本番でも容易にできるようになるでしょう。   では、手書きの解答をどうぞ、ご覧ください。

結局は３次関数

求めるのが分数式だったのですが、ｐに統一してしまうと、なんと分母に文字が消えて、ただの３次関数になってしまいます。 ということは、定義域を求めて、増減表を描いて終わり♪   これは、取りたい問題でした（文理ともに）  

敬天塾作成の解説

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