2019年 東大数学 文系第1問 理系第2問(座標と図形、元と式の本数、最大最小)

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2019年 東大数学 文系第1問 理系第2問

今日も解説行きましょう。

文系第1問と理系第2問が共通問題だったので、同時に解説してしまいます。

 

文系の問題はこちら

理系の問題はこちら

 

 

共通問題なので、似てますね。しかし、文系と理系で大きく違うわけではありません。というか、理系の問題が文系で出されてもおかしくないような気も。

 

まずは、この話のカラクリを解説しましょう。

 

直角にかかわる図形が出たら、座標を設定せよ!

理系の問題を再度ご覧ください。

ただ単に正方形が与えられ、辺の上を点が動いています。

これを図形の問題として解くこともできるのですが、ここで大切なポイントがあります。

それは

「直角関係の図形が登場したら、座標を設定せよ!」

 

正方形、長方形、直角三角形や立方体など、角度に直角を含むような図形を見かけたら、座標の設定を考えるのです。

これにより、式の処理がとても簡単に済むことが多々あります。

 

それを踏まえて、文系の問題をみてみましょう。

問題文の中に、すでに座標が設定されていますね。

つまり、理系の問題は、「座標の設定ができるか?」という考え方を問われていたわけです。

 

元と式の本数を数えよ!

座標を設定すると、pとqとrの3文字が登場することが分かります。

このように、不明な量(連立方程式の時に登場する文字の数)を元と言います。中2で習ったアレは、2元連立方程式と言ったりしますよね。

 

これに対して、三角形の面積が1/3という条件が2つ。つまり、等式が2本立つことが分かります。

 

さて、3つの元に対して、2本の式が立ちますが、この数字が大切です。

解ける連立方程式では、元=式の本数

通常の連立方程式では、元の数と式の本数が等しくなって、全ての元の値が求められます。

例えば、

2x+3y=10

x-y=5

のような連立方程式ならば、2元で2式なので、xとyの値が求められる、といった具合。

このように、元=式の本数 の場合、連立方程式が解けるのです。

 

元ー式の本数 で残る文字の数が分かる。

この問題では、3元と2式の問題でしたが、このような時にはどうなるでしょうか?

結論から言ってしまうと、3-2=1と計算して、1文字分の不明量が残ると考えます。

公式化するなら、「元ー式の本数=残る文字の個数」だということです。

 

今回は、pとqとrの3元でしたが、どれか1つの元だけ残して、他の2つを消去するのです。

すなわち

①pとqを消去して、rを残す

②pとrを消去して、qを残す

③qとrを消去して、pを残す

の3方針が立つのです。

どれを採用しても、最後には1文字の問題になります。

文系(1)のカラクリを解き明かそう

これを踏まえて、文系(1)の問題をご覧ください。

「qとrをpで表し」とありますね。これは、上の3方針のうち

③qとrを消去し、pを残す

を採用する問題だということですね。

 

ちなみに、理系ならqを残す方針でも解けますね。お好きな方でどうぞ。

 

開始数分でここまで読め!!

そして、求めるのは何でしょうか?

文系では、CR/OQで、理系ではDR/AQとなってますが、文字に直せばどちらもr/qの値です。

 

しかし、上記の方針から、rもqもpで表すので、結局は

「(何らかのpの式)の最大最小を求めよ」

という問題になります。

 

さて、ここまで長々と書いてきましたが、ここまでは問題を見て、開始数分で検討すことです。解きながら気づいてはいけません。このような訓練を徹底的に積むと、本番でも容易にできるようになるでしょう。

 

では、手書きの解答をどうぞ、ご覧ください。

 

結局は3次関数

求めるのが分数式だったのですが、pに統一してしまうと、なんと分母に文字が消えて、ただの3次関数になってしまいます。

ということは、定義域を求めて、増減表を描いて終わり♪

 

これは、取りたい問題でした(文理ともに)

 

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