２０１９年　東大数学　文系第１問　理系第２問（座標と図形、元と式の本数、最大最小）

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２０１９年　東大数学　文系第１問　理系第２問

今日も解説行きましょう。

文系第１問と理系第２問が共通問題だったので、同時に解説してしまいます。

 

文系の問題はこちら

理系の問題はこちら

 

 

共通問題なので、似てますね。しかし、文系と理系で大きく違うわけではありません。というか、理系の問題が文系で出されてもおかしくないような気も。

 

まずは、この話のカラクリを解説しましょう。

直角にかかわる図形が出たら、座標を設定せよ！

理系の問題を再度ご覧ください。

ただ単に正方形が与えられ、辺の上を点が動いています。

これを図形の問題として解くこともできるのですが、ここで大切なポイントがあります。

それは

「直角関係の図形が登場したら、座標を設定せよ！」

 

正方形、長方形、直角三角形や立方体など、角度に直角を含むような図形を見かけたら、座標の設定を考えるのです。

これにより、式の処理がとても簡単に済むことが多々あります。

 

それを踏まえて、文系の問題をみてみましょう。

問題文の中に、すでに座標が設定されていますね。

つまり、理系の問題は、「座標の設定ができるか？」という考え方を問われていたわけです。

元と式の本数を数えよ！

座標を設定すると、ｐとｑとｒの３文字が登場することが分かります。

このように、不明な量（連立方程式の時に登場する文字の数）を元と言います。中２で習ったアレは、２元連立方程式と言ったりしますよね。

 

これに対して、三角形の面積が１／３という条件が２つ。つまり、等式が２本立つことが分かります。

 

さて、３つの元に対して、２本の式が立ちますが、この数字が大切です。

解ける連立方程式では、元＝式の本数

通常の連立方程式では、元の数と式の本数が等しくなって、全ての元の値が求められます。

例えば、

２ｘ＋３ｙ＝１０

ｘ－ｙ＝５

のような連立方程式ならば、２元で２式なので、ｘとｙの値が求められる、といった具合。

このように、元＝式の本数　の場合、連立方程式が解けるのです。

 

元ー式の本数　で残る文字の数が分かる。

この問題では、３元と２式の問題でしたが、このような時にはどうなるでしょうか？

結論から言ってしまうと、３－２＝１と計算して、１文字分の不明量が残ると考えます。

公式化するなら、「元ー式の本数＝残る文字の個数」だということです。

 

今回は、ｐとｑとｒの３元でしたが、どれか１つの元だけ残して、他の２つを消去するのです。

すなわち

①ｐとｑを消去して、ｒを残す

②ｐとｒを消去して、ｑを残す

③ｑとｒを消去して、ｐを残す

の３方針が立つのです。

どれを採用しても、最後には１文字の問題になります。

文系（１）のカラクリを解き明かそう

これを踏まえて、文系（１）の問題をご覧ください。

「ｑとｒをｐで表し」とありますね。これは、上の３方針のうち

③ｑとｒを消去し、ｐを残す

を採用する問題だということですね。

 

ちなみに、理系ならｑを残す方針でも解けますね。お好きな方でどうぞ。

 

開始数分でここまで読め！！

そして、求めるのは何でしょうか？

文系では、ＣＲ／ＯＱで、理系ではＤＲ／ＡＱとなってますが、文字に直せばどちらもｒ／ｑの値です。

 

しかし、上記の方針から、ｒもｑもｐで表すので、結局は

「（何らかのｐの式）の最大最小を求めよ」

という問題になります。

 

さて、ここまで長々と書いてきましたが、ここまでは問題を見て、開始数分で検討すことです。解きながら気づいてはいけません。このような訓練を徹底的に積むと、本番でも容易にできるようになるでしょう。

 

では、手書きの解答をどうぞ、ご覧ください。

 

結局は３次関数

求めるのが分数式だったのですが、ｐに統一してしまうと、なんと分母に文字が消えて、ただの３次関数になってしまいます。

ということは、定義域を求めて、増減表を描いて終わり♪

 

これは、取りたい問題でした（文理ともに）

 

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