2019年 東大数学 文系第1問 理系第2問(座標と図形、元と式の本数、最大最小)
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2019年 東大数学 文系第1問 理系第2問
今日も解説行きましょう。
文系第1問と理系第2問が共通問題だったので、同時に解説してしまいます。
文系の問題はこちら
理系の問題はこちら
共通問題なので、似てますね。しかし、文系と理系で大きく違うわけではありません。というか、理系の問題が文系で出されてもおかしくないような気も。
まずは、この話のカラクリを解説しましょう。
直角にかかわる図形が出たら、座標を設定せよ!
理系の問題を再度ご覧ください。
ただ単に正方形が与えられ、辺の上を点が動いています。
これを図形の問題として解くこともできるのですが、ここで大切なポイントがあります。
それは
「直角関係の図形が登場したら、座標を設定せよ!」
正方形、長方形、直角三角形や立方体など、角度に直角を含むような図形を見かけたら、座標の設定を考えるのです。
これにより、式の処理がとても簡単に済むことが多々あります。
それを踏まえて、文系の問題をみてみましょう。
問題文の中に、すでに座標が設定されていますね。
つまり、理系の問題は、「座標の設定ができるか?」という考え方を問われていたわけです。
元と式の本数を数えよ!
座標を設定すると、pとqとrの3文字が登場することが分かります。
このように、不明な量(連立方程式の時に登場する文字の数)を元と言います。中2で習ったアレは、2元連立方程式と言ったりしますよね。
これに対して、三角形の面積が1/3という条件が2つ。つまり、等式が2本立つことが分かります。
さて、3つの元に対して、2本の式が立ちますが、この数字が大切です。
解ける連立方程式では、元=式の本数
通常の連立方程式では、元の数と式の本数が等しくなって、全ての元の値が求められます。
例えば、
2x+3y=10
x-y=5
のような連立方程式ならば、2元で2式なので、xとyの値が求められる、といった具合。
このように、元=式の本数 の場合、連立方程式が解けるのです。
元ー式の本数 で残る文字の数が分かる。
この問題では、3元と2式の問題でしたが、このような時にはどうなるでしょうか?
結論から言ってしまうと、3-2=1と計算して、1文字分の不明量が残ると考えます。
公式化するなら、「元ー式の本数=残る文字の個数」だということです。
今回は、pとqとrの3元でしたが、どれか1つの元だけ残して、他の2つを消去するのです。
すなわち
①pとqを消去して、rを残す
②pとrを消去して、qを残す
③qとrを消去して、pを残す
の3方針が立つのです。
どれを採用しても、最後には1文字の問題になります。
文系(1)のカラクリを解き明かそう
これを踏まえて、文系(1)の問題をご覧ください。
「qとrをpで表し」とありますね。これは、上の3方針のうち
③qとrを消去し、pを残す
を採用する問題だということですね。
ちなみに、理系ならqを残す方針でも解けますね。お好きな方でどうぞ。
開始数分でここまで読め!!
そして、求めるのは何でしょうか?
文系では、CR/OQで、理系ではDR/AQとなってますが、文字に直せばどちらもr/qの値です。
しかし、上記の方針から、rもqもpで表すので、結局は
「(何らかのpの式)の最大最小を求めよ」
という問題になります。
さて、ここまで長々と書いてきましたが、ここまでは問題を見て、開始数分で検討すことです。解きながら気づいてはいけません。このような訓練を徹底的に積むと、本番でも容易にできるようになるでしょう。
では、手書きの解答をどうぞ、ご覧ください。
結局は3次関数
求めるのが分数式だったのですが、pに統一してしまうと、なんと分母に文字が消えて、ただの3次関数になってしまいます。
ということは、定義域を求めて、増減表を描いて終わり♪
これは、取りたい問題でした(文理ともに)
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