２０１９年 東大数学 理系第６問（１） （第１手をどうするか？。有名事実を覚えよう）
２０１９年 東大数学 理系第６問
では、２０１９年最後の問題
頻出の複素数平面です。
しかし、見たことのない条件がたくさん！これは難しい問題でした。
さて、第１手として、あなたはどうする？
条件や方針の整理
まず、与えられた情報を整理してみましょう。
条件１：α、β、γ、δは全て違う複素数
条件２：その４つが解となる、４次方程式
条件３：αβ＋γδは純虚数
の３つです。
そして、複素数平面では、必ず３通りの方針が存在します。
①複素数のままで突き進む
②ｘ＋ｙｉの形にする（直交座標の形）
③極形式にする
これらをもとに、式をいじっていくということですね。
そして、証明したことは
「α、β、γ、δのうち２つが実数で、残りの２つは共役な複素数である」
ということ。
第１手の付け方
さて、この問題、何が難しいって、第１手の付け方です。
すぐに正解の方針が思い付いたとしたら、偶然かヒラメキでしょう。あまり類題がない問題です。
先ほどまとめた情報の中で、特に情報量が多い、というか厳しい条件は「条件３：αβ＋γδは純虚数」でしょう。これを中心に問題を解いていくのでしょうが、純虚数の条件ではイマイチ方針が不明。
例えば、純虚数に関する条件としては「共役なもの同士を足して０」というものがありますが、αβ＋γδを共役にしたものを作って和を取ったところで、新たな複素数が４つ生まれてしまい、困ってしまいます。
こんなことを考えていると、方針が立たなくて時間が刻々と過ぎてしまう。
ということで、あまり長く考えているヒマもないですから、飛ばして別に行っても良い問題だと思います。
とりあえず、共役な解を持つ事実を指摘してみる
大きな方針が立たないということで、まずは必ず使いそうな事実から始めてみましょう。
「実数係数の方程式の場合、共役な複素数の両方が解になる」というものです。
ちょっとだけ注意しておくと、実数係数に限った話です。複素数係数では成り立たないのでご注意を。
３つの可能性しか残されない
すると、共役な複素数解が２個セットで同時に出てくることになるので、虚数解が１個しかない」とか「虚数解が３個」の可能性はないのです。
これで少しだけ話が進んで
（Ａ）実数解が４つ
（Ｂ）実数解が２つと、共役な虚数解が２つ
（Ｃ）共役な虚数解のセットが２つ
という３つの場合しか考えられないことになります。
この中で、証明したいのは（Ｂ）のパターンになることで、必ずこの３つのうちどれかが成立するので、
（Ａ）と（Ｃ）の可能性を排除すれば、残った（Ｂ）の可能性のみが残されて（１）が解けることになります。
と、読んだり聞いたりすれば簡単そうに聞こえますが、ここまで発想するのも結構難しいと思います。
やはり、１５０分の試験時間の中で、前半で取り掛かる問題ではない気がしますねぇ。
では、（１）の解答をどうぞ
先ほどの解答の方針に気付いてしまえば、あとはスムーズに筆が進みます。
ポイントは最も厳しい「条件３：αβ＋γδは純虚数」から手を付けることでしょう。
もし上手くいかなくても、複素数平面の３つの方針
①複素数のままで突き進む
②ｘ＋ｙｉの形にする（直交座標の形）
③極形式にする
のうち、②や③を利用して解こうとするのも良いでしょう。
では、長くなったので（２）と（３）は次の記事へ
