２０１９夏 河合東大オープン 文系数学第４問の解説（整数、互いに素、分数式が整数になる条件）
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2019年夏 河合東大オープン 文系数学第４問の解説
さて、第４問。
典型的な整数問題。
（２）も、かつての難しさほどではなく、東大受験する人ならば知っておきたい解法というレベル。
取りたいです。
（１）何も難しいところはない。
では、（１）からいきますが、これは何も難しいところはありません。できなかった人は、反省するレベルでしょう。
与式が整数になると言われているので、「＝ｍ」かなんかでおき、分母を払うと不定方程式が出てくるというだけ。
どこにも不自然な発想がありません。
数弱の人は、
（東大模試だから、きっと難しい解法をするんだろう）
などという、余計な忖度をするかもしれませんが、むしろ逆。
誰でも知っている解法の積み重ねに答えがあるのです。
東大だからと言って、特別ではありません。
割り算をして次数を落としてもよい。
また、割り算をして次数を落としてもよいでしょう。
分子÷分母をすると、（整数部分）＋（ｎの分数式）となり、後半の（ｎの分数式）の部分が整数になればよい、という論理です。
分数式は割って考えることがある
というのも基本。但しこの問題に関しては、割っても割らなくても、大した違いはありませんでした。
では（１）の部分だけご覧ください。
（２）発想は悪くないけど、解けない問題について
では、（２）へ。
同じようにｎの分数式が与えられています。
もちろん、瞬殺で解法が思い付く人はいないでしょうから、アレコレ考えるわけですが、
（１）と同じように、「＝ｍ」とおいて、分母を払って解いてもＯＫ。
結果として解けませんが、（中々面倒な式が出てきます）発想としては悪くありません。
ちょっと脱線しますが、こういう入試問題で、一つの方針を試した後に答えが出なかったとき
（自分の方針は間違ってたんだ。やっぱり数学が苦手なんだ。）
と思う人が多いのですが、実はあながちそういうわけでもありません。
スタンダードに考えたら採用するような解法が通じなかっただけで、発想自体は悪くないことが多いのです。
解けない方法は悪、解ける方法は善。
と単純に捉えるのではなく、「なぜスタンダードな解法では解けなかったのか」と考えるべきでしょう。
どのように（１）を利用するか
ということで、（１）と同じ解法を試して挫折したとき、どうするのか。
やはり、（１）からの誘導を見るべきでしょう。
（というか、ぱっと見で気付く人も多いでしょう。）
「数学の問題は全て誘導問題だ！」と決めつけて解くのが定石ですから、散々いろいろと試した後に「ああ！！誘導だったのか」と気付いてはいけません。
よく見ると、（１）で求めた式が一部に登場しています。
（あ、なるほど、ということは（１）の結果を利用するんだな）と思い、その路線で試行錯誤を始めましょう。
ここで大事になるのが、次のセクションの事実です。
隣り合う整数は互いに素、隣り合う奇数は互いに素
ご存じでしょうか？
①隣り合う整数は互いに素
②隣り合う奇数は互いに素
という、有名事実があります。
①の方が有名ですが、②も一緒に覚えておきましょう。
（ちなみに、隣り合う偶数は、互いに素になりませんよ。どちらも２の倍数ですから）
①の証明ですが、
ｎ＋１をｎで割ると、
ｎ＋１＝ｎ×１＋１
となりますね。
ユークリッドの互除法としてみると、
ｎ＋１とｎの最大公約数が、ｎと１の最大公約数に一致しています。
ｎと１の最大公約数は１ですから、ｎ＋１とｎの最大公約数も１。つまり、互いに素なのです。
（最大公約数が１になることを互いに素と言います。）
これとほぼ同様にすると、②も証明できます。
手書きの解答に書いておいたので、必ず確認しておいてください。
分数式が整数になるには、分母を割り切らなくてはならない
では、最後。
分数式が整数になる問題のアプローチとして、重要なことですが、
分数式が整数になるには、分母を割り切らなくてはならない
というのを解説します。
分数に見えるのに、全体として整数になるということは、分子÷分母が割り切れてしまい、分母が消えてしまうということです。
そして、分母の（２ｎ－１）に注目すると、分子の（２ｎ＋１）か、（５ｎ＋１７）に割ってもらわなければならないのですが、
先ほどやった通り、（２ｎ＋１）と（２ｎ－１）は互いに素ですから、割り算が出来ません。
ということで、（５ｎ＋１７）／（２ｎ－１） （つまり（１）の部分）が割り切れなくてはならなくなります。
すると、候補のｎは（１）で求めた４つ（１、２、７、２０）だけになり、あとは試せばＯＫということになります。
この論法は、整数問題で非常に重要。よく見る流れですので、必ず押さえたいものです。
では、手書きの解答をお見せしましょう。
別解の紹介 割り算したら？
おまけで別解の紹介です。数学で高得点を取りたい場合、必ず別解の検討をしてください。
というか、別解の検討を必ず行い、解法の体系化が出来たら、ほとんど大学受験の数学の勉強は終わりと言ってよいでしょう（どこでも受かるレベルになれます）
まずは、（１）と同じように、分数式を割った場合ですが、やはり解けます。考え方も、そんなに変なところはありません。
ただし、（整数部分）＋(ｎの分数式）となるのですが、分母がｎの２次式なので、（１）と同様にいきませんから、ｎの候補を絞る作戦に出なければならないのが、少し難しいかもしれませんね。
数Ⅲの極限の話を知っていると、この辺りが発想しやすいんですが。
別解の紹介 どうせ５くらいになるでしょ？
この記事、理系の受験生ってみてるんでしょうか？
東大理系の受験生って、あまり文系の問題まで手を出さないような気がするんですが、あれなぜでしょう？
めちゃくちゃ勉強になるし、同じ人が作ってるんだから、明らかに分析の対象だと思うのですが・・・。
ということで、理系的に発想した解法も載せておきます。
与式って、発散すると５に収束しますよね。
ということは、ｎが大きくなればなるほど、５にちかづく。
ということは、ほとんどのｎを代入しても、５付近の値になってしまうのです。
ということで、
①５にならないｎを探す
②５になるｎを探す
の２通りを検討すればよい、という発想です。
似たような発想の問題が、２０１８年に出題されていますので、これもチェック！
では、河合文系はこれでおしまいです。
