2021年東大文系数学（第1問）入試問題の解答（答案例）・解説

２０２０年東大数学　文系第１問

関数がｘ軸に接する条件

毎年出る３次関数の問題ですね。
条件１は簡単。ｘ軸に接する条件はアルアルです。

と言いつつも、意外とちゃんと説明されないと思いますので、ここで整理しておきましょう。
関数がｘ軸に接する条件というのは、「極値が０」です。基本的にはこれしかありません。極大値でも極小値でも構いません。
だから、今回の問題では、増減表を描いて、極大値＝０と極小値＝０を立式すればＯＫです。
ちなみに、ｙ＝ｘ＾３とｘ軸の関係のように、クロスしている時でも接していると言います。（つまり、この時ｘ軸はｙ＝ｘ＾３の接線です。こういう、細かい知識が大切。）

さて、これが２次関数になると話が少し複雑になります。
というのも、２次関数の場合は、極値を求める方法が微分だけではないからです。すなわち「平方完成」でも求められます。

また、２次関数とｘ軸の交点を求めるときに、連立して（２次方程式）＝０とできます。
２次方程式には解の公式があります。すると解の公式を利用した判別式も使える。
すると、（判別式）＝０の条件も使えます。

まとめると、
グラフがｘ軸に接する条件は
３次関数では、極値＝０のみ
２次関数では、極値＝０以外に、平方完成後のｙ座標＝０と、（判別式）＝０の３つ
が使えるということになります。

※細かい事を補足しておきます。受験生レベルでは知らなくて良い話です。
３次関数でも解の公式や判別式があります。
しかし、３次方程式の解の公式（カルダノの公式）は事実上使い物にならないほど複雑ですし、３次方程式の判別式も使いづらい。ということで、普通は使いません。

見慣れない問題にどう対処するか

これを使うと、ｂ＝４ａ＾３という式が得られます。(詳しくは手書きの解答をご覧ください。）
これで、文字定数が一つ減り、あとはａだけになりました。
ここから、条件２を使います。

条件２は、「指定された領域に格子点が一つだけ含まれる」という見慣れない条件。
問題文には「ｘ座標とｙ座標がともに整数である点」と書かれていますが、これは教科書に格子点が登場しない事実から来る、受験生への配慮であって、普通「格子点」といいます。
それに、格子点の問題は問題集などに平気で登場しますから、多くの受験生が知っていたことでしょう。

さて、この条件２。上には「見慣れない」と書きましたが、その通り。誰も見たことがない条件です。
このような時どうするかというと、過去に解いた同じような問題を思い出すしかありません。

とりあえず図を描いてみると、

こんな感じになればよいと分かります。
すると、（０，１）は領域内に含まれて、隣の点は領域外になればよいと分かります。
これは、グラフが通る場所を特定する話ですから、いわゆる解の配置の問題です。
これを応用すると、解ける問題でした。

では手書きの解答をどうぞ。

なお、条件２の立式は、少しだけ違う式にすると簡単に不等式が解けるのですが、今回は、発想の簡単さや、見た目を整えることを優先してあります。

全体

難易度としては、例年の東大入試の問題と同じくらいかなと思います。簡単でも、難しくもない。
ただ、格子点を領域内に含む条件を、自分で考えて立式するところは、焦っているとミスしやすいような気がしますね。
初見の条件を、自分で考えて立式するものは、過去にも何度も出題されているタイプです。なかなか身につかない能力かもしれませんが、訓練によって身につけられますんで、演習に取り組んでほしいと思います。

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