2020年東大文系数学（第2問）入試問題の解答（答案例）・解説

２０２０年東大数学　文系第２問

東大にしては、非常に珍しい「場合の数」の問題。必ずと言ってよいほど確率ばかり出るのに、場合の数が出題されました。
但し、場合の数も確率も似たような単元（基礎、応用の関係）なので、違和感はそこまでなかったかもしれません。

（１）重複の数え方が難しい！

では、問題の中身に行きましょう。
テーマとしては、格子点１６個のうち５つ選び、条件にあうパターンは何通りあるかを数える問題。つまりアルアルのテーマです。

とりあえず全部で１６Ｃ５通りがあるのは簡単として、難しいのは条件に合う場合を求めるところです。

選んだ５個の点を１つも含まない直線が２本存在するものを選ぶとな。
とりあえず、縦に２本、横に２本、縦横１本ずつ、の３通りがあるところまでは簡単。

次に、例えば縦２本の直線上に点が乗っからない場合を考えると、５個の点の配置私大では、３本目の乗っからない直線が出てきてしまう。

などなど考えると、場合分けや状況の整理をかなりていねいに行っていかないと、当たらないという問題です。

しかしながら、言い換えれば、別にそんなにひねりがないとも言えます。丁寧に場合分けをして、計算していけば当たる問題なので、
例えば、高校１年生が場合の数を履修し終わった段階で、練習問題として出題するなどというのは、効果的な使い方でしょう。

（２）どっちで攻める？

では（２）ですが、（１）は「２本存在する場合」に対して、（２）は「１本も存在しない」という問題です。

普通、このように問題が流されている場合、（１）を誘導として利用して（２）を解きます。
つまり、「１本存在する場合」や「３本存在する場合」を求めて、全体から引くわけですね。（余事象）

始めこれでやってみたら、面倒になり過ぎるかなと思い、手書きの解答では避けて書いたのですが、あとで思い付いたので追記しておきました。

手書きの解答では、余事象を使わず、全ての直線が点を含む場合の数を数えてますが、これもそれなりに面倒です。
これを正確に答えられるというのは、かなり高い数学力があると思いますね。

問題としては、そこまで変わった特徴がない問題ですね。
やはり、来年以降の対策としては、場合の数も出るというのが注目ポイントなのでしょうか。