２０１６年　東大数学　理系第４問（三角形をなす条件、鋭角三角形の条件、複素数平面）

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２０１６年　東大数学　理系第４問の解説

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２０１６年　東大数学　理系第４問の解説

文系第１問と比較

非常にシンプルな問題ですね。問題文が短くて、主張もシンプル。ちょっと京大ぽい感じもします。

問題を読んで、パッと理解出来ない部分は恐らく１点でしょう。すなわち「鋭角三角形をなす」という部分。問題文が短いですから、この条件をどう立式するかがポイントですし、これさえクリア出来れば満点の問題です。

さて、ここで思い出してほしいのは、文系の第１問。理系の受験生でも文系の問題はとても勉強になるので、ぜひご覧ください。
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文系の第一問では、ｘｙ座標に３点与えられていて、鋭角三角形をなす条件を求める問題でした。こちらは複素数平面ですが、非常に似ていますよね。

鋭角三角形をなす条件

理系の問題という事で、文系の時よりちょっと詳しく書きましょう。

鋭角三角形をなす条件というのは、高校数学の教科書のどこにも明確に登場しません。つまり、知っている条件を組み合わせて使う事によって、鋭角三角形の条件を構築しなければならないという事。ということで、少し難しいかなぁと思います。

とは言いつつも、近い条件は教科書に存在します。それが「三角形が鋭角になる条件」です。
どう違うかというと、
教科書に載ってるのは「鋭角になる条件」だけ調べればよいのに対して、この問題で求めるのは「３点が三角形をなす条件　かつ　鋭角になる条件」です。

ということで、二つをまとめましょう。

３点が三角形をなす条件

では、１つ目の３点が三角形をなす条件をまとめましょう。
下の二つを同時に満たすことです。
・３点のうち、どの２点を選んでも同一の点ではない（３つが全部バラバラの場所にある）
・３点が、同じ直線上に並ばない
です。この２条件を両方満たしていれば、鋭角かどうかはともかく、三角形になります。

三角形が鋭角をなす条件

今度は、三角形が存在するのが前提として鋭角三角形になる条件をまとめましょう。
まず、鋭角三角形というのは、「内角のうち最大のものが９０度未満のもの」が定義です。そして角度の計算方法として、よくあるのは余弦定理とベクトルでしょう。ということで
・三角形の最大の内角に対して、余弦定理でｃｏｓが正になる
・三角形の最大の内角に対して、ベクトルの内積が正
となります。

但し、今回の問題はどれが最大の内角になるかわからないので、
∠Ａが９０度未満　かつ　∠Ｂが９０度未満　かつ　∠Ｃが９０度未満
という条件で使います。
この辺りの細かい条件の変換も難しさを増しますね。

複素数の偏角ａｒｇを使う

しかし今回は複素数平面ですから、argを使おうっていう発想が出るのです。
教科書や参考書に、ａｒｇを使って鋭角三角形の条件を作る問題のパターンは載ってませんから、これも連想が難しいところです。
とは言っても複素数平面では、余弦定理やベクトルの内積が使いづらいでしょうから、自然といえば自然なのかもしれません。

複素数平面は、習うのが高校３年生の最後の方になる場合もあるでしょうから、扱いに慣れずに入試に突入するかもしれません。
僕も現役の頃は、比較的苦手な分野だったのですが、この問題は比較的簡単な部類なのかもしれません。
条件もシンプルだし、計算も簡単です。１５点以上を狙えます。