2015年 東大文系数学 第2問(2次関数の存在条件、解の配置、1次方程式の存在条件、領域図示)

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2015年 東大文系数学 第2問(2次関数の存在条件、解の配置、1次方程式の存在条件、領域図示)

2015年東大数学文系第2問解答解説

珍しい設定の問題

二次関数、領域図示、積分なんかの融合問題ですね。問題文を一読しただけでも、それがわかります。

この問題、ちょっと珍しいのが、『条件(ⅰ)または条件(ⅱ)を満たす』という部分ですね。こういう風に条件が二つ以上書かれている時、 『条件(ⅰ)かつ条件(ⅱ)を満たす』となるのが多いと思うんですが、珍しく「または」の条件で考えさせています。

僕もはじめ、「かつ」の方の条件で解き進めて、途中で変な結果が出てしまいました。気を付けて気下さい!

条件2は簡単♪

パッと見ただけでは良くわからないでしょうから、とりあえず手を動かして、図示していきます。
すると、条件(ⅱ)の方は非常に簡単だというのが分かるでしょう。要するに、y=-xの直線の、AとBの間ですからね。これは問題ナシ。

条件1 2次関数の配置

扱いづらいのは、条件(ⅰ)の方でしょう。
②2次関数の頂点のx座標の絶対値が1以上
①その2次関数がAPBを通る。
という、二つの条件を満たさなければなりません。

但し、Pの座標は与えられてませんよね。
そして、Pの存在する領域を求めよという事は、最終的にPの座標の条件を求める事になるわけですから、ここでは点Aと点Bを通るような条件を立式すればよい、という事になります。
よって、y=ax^2+bx+c という、いつもの式を立てて、AとBを代入すればOK。
そして、軸の絶対値が1以上という不等式を立てておいて終わり、ということになります。

2次関数の存在条件は解の配置を使うのが定石

そして、そんな2条件よりも、この問題で受験生がつまづいてしまうポイントへ移りましょう。それは、2次関数の存在条件ですね。

この問題の場合は、条件を満たす2次関数の存在する条件を求めるという事なんですが、『2次関数の存在条件』と言われても、高校の教科書にはそんな用語は出てきません。

では、どうやって解くのかと言うと、たいていは解の存在条件です。
文系の受験者であれば、数Ⅰの2次関数の分野でやった、判別式とか、解の配置の問題を思い浮かべて下さい。

判別式であれば、解が少なくとも一つ以上存在する条件は、(判別式)≧0ですよね。
解の配置の問題でよくあるのは、「異なる正の2解が存在する条件」が、「判別式が正、かつ、軸の位置が正、かつ、境界のy座標が正」と3式を立てる問題です。
これらを利用して、「解が存在すれば、2次関数も存在する」という論理に持ち込んで解くわけです。
※解の配置を体系的に学ぶ方法に関しては、こちらの記事をご覧ください。2014年 東大文系数学第3問 理系第6問 通過領域の解法をノウハウにしよう!

1次方程式の解の配置の問題

しかし、この東大入試の難しいポイントは、上の二つのいずれでも解けないことですね。いや、難しいというより、本当は簡単なはずなんです。だって、この問題は1次方程式の解の存在条件ですから。

でも、普通の高校生は、判別式とか、解の配置に慣れ過ぎていて、もっと単純な1次方程式の解の存在条件の方が難しく感じてしまうようです。

実際の式に関しては、手書きの解答を見てもらえばわかりますが、左の列の下の方を見て下さい。
2015年東大数学文系第2問解答解説

1次方程式の解の配置なので、1次の係数に注目

a(s^2-1)=s+t とありますが、このaが解を持てば良いんですね。
a^2が出てこないので1次方程式です。という事は、aの係数が0の場合と、0でない場合に分けるというのは、普通の発想なのですが、いかんせん慣れていないので、ここでストップしてしまうようです。

こういう基本的な所をキチッと押さえておくことが非常に大事です。中学と高校の数学の教科書って、体系的にまとまっているように見えて、別に体系的にまとまってません。単元ごとに詰め合わせてあるだけの福袋みたいなものと言えば良いのか。

このあとは、領域図示と面積計算ですが、計算が複雑なだけで、やってる事は基本なので割愛させて頂きます。
関数の存在条件の問題は、入試で非常に良く出ますので、是非押さえておきましょう。アタフタしないように、立式して「解の存在条件に持ち込む」という流れを、身に着けて下さい。
※解の配置や領域図示に関する解法を体系的に学びたい方はこちら
(2014年 東大文系数学第3問 理系第6問 通過領域の解法をノウハウにしよう! )

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