実数条件について、これでもかと噛み砕いて説明しました。

２文字を２文字に対応させるパターンを学ぼう

普通、「置換」と言ったら１文字を１文字に対応するものが多いです。
例えば、「ｔ＝ｘ＋２とおく」とした場合、ｔとｘの対応関係を定義していますから、１文字を別の１文字に対応させていると言えます。

しかし中には、２文字を２文字に対応させる問題が登場します。
その代表例が、ｓ＝ｘ＋ｙ　ｔ＝ｘｙ　と置換するパターンです。
これは、ｘｙの２文字を、ｓｔの２文字に対応させているので、２文字を２文字に対応させていると言えます。
今回は、このように２文字を２文字に対応させる問題を扱っていこうと思います。

範囲設定はどうする？

さて文字を「置換」する時には、範囲設定を同時に行うことが大事です。

例えば、「ｔ＝ｘ＋２」と置換した場合、「ｘは全ての実数」に対し「ｔは全ての実数」に対応しています。

しかし、「ｔ＝ｘ^２」と置換した場合、「ｘは全ての実数」に対し「ｔ≧０」に対応します。このように、置換前と置換後で、取りうる範囲が変化する場合があります。

というか、たまたま一致することもありますが、基本的には変わります。なので必ず毎回調べる必要があります。

では、「ｓ＝ｘ＋ｙ　ｔ＝ｘｙ」と置換した場合、どうなるでしょうか？

先ほど書いたとおり、これはｘｙの２文字を、ｓｔの２文字に対応させているのですが、
これは言い換えると、ｘｙ平面をｓｔ平面に対応させていると言えます。

イメージ図はこちらです。

上の図を見ていただくとわかるように、ｘｙ平面ではすべての領域で実数ｘとｙが存在できるのですが、

ｓｔ平面では放物線の下側だけがｓとｔが存在できる領域になります。

つまり、「ｓ＝ｘ＋ｙ　ｔ＝ｘｙ」と置換した場合、ｔ≦1/4ｓ^2の式を一本加えるのです。

では、なぜこうなるのでしょうか。

以下に理由を説明していきますが、この理由は多少ややこしい、理解できない人は、とりあえず「ｓ＝ｘ＋ｙ　ｔ＝ｘｙと置換した場合、ｔ≦1/4ｓ^2の式を一本加える」という事実を覚えれば、簡単な基本問題を解く分には困らないでしょう。本質的ではありませんが、受験であればアリかもしれません。

式を加える理由

さて、「ｘとｙは実数全体」と言われると、ものすごく自由に値を取れるというイメージがあると思いますが、実際は制約があります。

それは、虚数ではダメという制約です。

「虚数ではダメ」という制約があるｘとｙに対し、x＋ｙ＝ｓ、ｘｙ＝ｔ　という制約がさらに加わるので、もっと自由が利かなくなります。
よって、さきほどみたように放物線の下側の限定されると思ってください。

これを、考えるときに利用するのが、解と係数の関係です。
解と係数の関係を使うと、ｓとｔがある２次方程式の解になっていると考えることができます。

これまで登場していなかった大文字のXが突然登場するので混乱するかもしれませんが、これはどういう意味かというと「ｓとｔは、とにかく何らかの２次方程式の解の和と積になっている」ということです。何か文字で置かないと困るので、適当にＸを使っているだけです。
逆に言えば、ｓとｔは何かの２次方程式の解の和と積になるように、とりうる値を制限されているとも言えます。

もしくは「ｓとｔは、実数を解に持つような２次方程式の係数になっている」という制限があると考えても良いでしょう。いずれにしろ、ｓとｔに制限があることが理解できれば良いと思います。

さて、２次方程式の解になるということは、判別式が０以上になる必要が出てきます。

このように、ｓとｔはこの関係式を満たす必要があるのです。

これを「実数条件」と呼びます。

ここまでをまとめると、

「ｓ＝ｘ＋ｙ　ｔ＝ｘｙと置換した場合、実数条件と呼ばれるｔ≦1/4ｓ^2の式を一本加える」

ということになります。

実数条件を満たさない場合

では、実数条件を満たさない場合はどうなるのでしょうか？

先ほどお見せした、この放物線の領域を満たさないｓとｔを一つ例として取り上げましょう。

計算しやすそうな例として、ｓ＝１、ｔ＝１を取り上げました。

ｘ＋ｙ＝１、ｘｙ＝１となるｘとｙを考えてみてください。ｘとｙは実数の範囲では見つからないはずです。

ちなみにこれを解くと、

となり、やはり虚数解になります。

やはり、「ｘとｙが虚数ではダメ」という制約があるからこそ、sｔ平面では放物線の下側でなければならないのです。

例題を解いてみよう

では、実際に例題を解いてみましょう。

この問題の場合の解答は以下のようです。

一つの図にまとめると、

↑この図が答えです。

簡単に言うと、実数条件①と、与式の変形をした式②の両方を満たす領域を図示するだけです。

分かってしまえば大したことはないのですが、理屈を理解するのが少々苦労するかもしれませんね。

ぜひ他の問題でも利用して練習をしてみてください。