2021年　東大数学　文系第1問　解説（円と３次関数）

２０２１年　東大数学　文系第１問の解説

円と３次関数が登場！

円と３次関数が登場し、６個の共有点を持つ条件を求めよ、という問題。

数学ⅡBまでで、座標上に円と絡む図形って、点、直線、円くらいのもので、放物線と絡むのも中々珍しいと思います。
そこをなんと、３次関数と絡ませる。
こんな問題、見たことあったかな？と思う新設定の問題です。

普通に考えたら、円と３次関数を連立して６個の解を持つ条件を考えるんですが、
その際に、３次の式を円に代入するってことで、６次方程式が出てくる。
「いや、６次方程式って！」
と思って、ためらうと思いますが、そこをどう処理するか！？
他の解法はないのか？

その辺りを、深堀ってみましょう。

この問題の手書きの解答の画像一覧を張っておきます。
ダウンロードや、ご自身の学習、先生方の授業での使用などは自由になさってください。（授業で使用する際は、敬天塾のものであると告知するようにしてください。）
無断での販売はご遠慮ください。
2021(1)文数　解説

解法を２１個発見

いつも通り、私の手書きの解説をご披露するのですが、過去最高の８枚に渡りました。その理由は、解法がたくさん見つかったから。

その数なんと、２１通り。
（通し番号では１９個になってますが、実際は解法４と５が２つに分かれるため、２１個になります。）

中には、途中で計算が激しすぎて挫折し、解けなかったものも含まれるので、実際に答えに辿り着くのは１６個くらいだと思うですが（ということで、少し水増ししてますｗ）

まずは、解法の分岐の仕方をまとめたものをご覧ください。

東大では、新傾向の問題が出題される。だから、様々なパターンを想定しておけ！

では、なぜそんなことをしたかというと、
「東大が（特に文系で）、新傾向の問題や、見たことのない設定の問題を出題してくるから」です。

２０１９年までは、僕のレベルでも、見た瞬間に最後の方まで解法がイメージできる問題が出題されてました。
しかし、２０２０年、２０２１年の２年分は、初見で見抜ける問題はなく、少し手を動かして、解法を探る問題が多く出題されています。
仮説ですが、東大は、パターンで対応できる問題をあえて避け、考察や実験を行うことで解法を導きだす問題を狙って出題しているのだと思います。
（ちなみに、この傾向は、２０１９年以前にも見られ、特に最近その傾向が強くなっているように思います。）

とすると、過去問の分析も「解ける方法を学んで終わり」で済ませるのではなく、ちょっとパターンを変更させられても対応できるように備えることが重要。
ということで、２１個の中には決しておススメではない解法もたくさん含まれていますが、あえてその分岐のパターンや立式の仕方を知っておくことで、来年以降の対策にしていただきたく存じます。

解法１：円と３次関数を連立し、ｙを消去。ｘの６次方程式へ

では、解法に行きましょう。
まずは一つ目にして、最もおススメな、ｘの６次方程式に持ち込む方法です。

臆すること勿れ。進め、進め、進め！
の掛け声とともに、強引に連立して、６次方程式をつくります。

円が偶関数（というか、ｙ軸対称）、３次関数が奇関数ということもあり、
ｘの６次方程式ではありますが、ｘの偶数乗しか登場しない、６次方程式になります。

そこで、ｘの２乗をＸで置換すれば、Xの３次関数に。
この時、Ｘ＞０でないと、ｘの解が２つ登場しないことに注意してください。
ということで、Ｘの３次方程式がＸ＞０の範囲に３つ解を持つ範囲を求めます。

３解持つ条件について、思い付きやすく簡単なのは、極値が逆符号でしょう。
極大値＞０　かつ　極小値＜０　となれば、Ｘ軸と３回交わります。

あとは、増減表を見ながら、Ｘ＞０に解を持つかどうかを確かめれば、Ｏｋです。

では、手書きの解説をどうぞ。

解法２：円と３次関数を連立し、ｘを消去。ｙの６次方程式へ

つぎの解法は、さっきのとほぼ同じ。ｘとｙを交換しただけです。
さっきはｙを消去しましたが、今度はｘを消去。ｙを残して、ｙの６次方程式に持ち込みます。

連立して代入するところで、一度３次関数を２乗する必要があるため、１手だけ作業が増えますが、後の流れや解法はほぼ同じです。

では何が違うかというと、単純に計算量。
正直言って、短い試験時間内に答えが出るような計算量ではないと思います。かなり大変です。

但し、方針が正しいので、頑張れば解けてしまいます。
実は、計算ミスをしまくって、３月の時点で挫折したため、放置に放置し、半年後にやっと計算が当たりました笑
僕はあまり計算ミスしないんですが（その代わり、解くの遅い）、ミスが連発して精神的にヤラれるくらい激しかったです。

その努力の様子を見せられないのが心苦しい（というか、頑張りを認めてほしいだけ笑）のですが、解説をどうぞ。

（下の画像の左半分です。）

ちなみに、解法３として、ｘとｙを両方残し、（ｘ、ｙ）の組が６個になる場合を検討するという方針も考えられたのですが、
私に力不足が原因で、どのように持っていけばよいかわからなかったので、断念しています。

閑話休題：再現答案を見たところ・・・

余談です。
敬天塾では再現答案を回収し分析しているのですが、多くの答案で
そもそも解法の方針を間違えてしまい、ほぼ０点（と予想される点）になっていました。

この画像のように、極値と円のｙ座標の大小を比較する方針が誤答です。
なぜ違うかというと、極値がハミ出るかどうかではなく、円と３次関数が接するかどうかで、共有点の個数が変わるからです。

例えば、放物線と直線の共有点の個数を考えてみましょう。接するかどうかで、０個～２個と変わりますね。
円と直線もそうです。接するかどうかで、０～２個で変わります。
円と円、３次関数と直線など、組み合わせを変えても、接するかどうかで共有点の個数が変わるはずです。

確かに、３次関数の極値を使って、共有点の個数をカウントするパターンの問題もあるのですが、それは「ｘ軸や、ｙ＝ｋなどｘ軸と平行な直線」との比較の場合だけです。
３次関数の極値が０となったときは、ｘ軸と接しています。つまり、やはりこれも接しているかどうかで、共有点の個数を場合分けしているのです。

ということで、この誤答のように、３次関数の極値と円上の点を比較するとNGなのです。（接するかどうかで場合分けをすることにならないからです）

では、「円と３次関数が接する」という条件の下で、解法を考えてみると、どうなるでしょう。
これが、解法４～１９の大きな方針です。

※なお、円と３次関数が接する場合を検討して、ａの値を求めるという方針は、ただ数式を書くのみではなく、「なぜ接する場合を検討すれば、共有点が６個の場合を検討できるのか」を日本語で記述して補足することが重要となり、うまく書けなかったり、ちょっとした論理のミスが生まれてしまったりすると、減点対象となってしまうことが考えられるため、
今回の問題では、あまりお勧めしておりません。

解法４～５：円と３次関数を連立して、重解を持つ条件を求める

では、まずは解法４と５です。
これは、解法１や２と同様に、円と３次関数を連立するのですが、
解法１～２では解が６個になる条件を求めたのに対し、
解法４～５では、重解を持つ条件に持ち込みます。
その際、対称性を用いて、やはりｘ＾２＝Ｘなどとおき、Ｘが重解を持つ条件を求めることになります。

「３次関数が重解になる条件」というテーマで解法を体系的にならうことは少ないと思いますが、
主に２つあると考えています。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
【３次方程式が重解になる条件】
①極値が０になる（つまり、３次関数がｘ軸と接する）
②３つの解をα、α、βとおいて、解と係数の関係を立式する

注）
もし３次方程式において、たまたま解が見つかり因数定理に持ち込めた場合は、上の２つは使わないことが一般的だと思います。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

これに、ｘを残すか、ｙを残すかを組み合わせると、解法が２×２＝４通り出現するということになります。

ただし、ｘを残すにせよ、ｙを残すにせよ、「①極値が０になる」を使うと、解法１～２とほとんど同じになってしまう場合、今回は通し番号に含めていません。
（別の解法だという立場をとると、１９個から２１個に増えます）

②のように解と係数の関係を使うと、解法１～２と同様に、ｘを残した場合は解けるレベルの計算に落ち着きますが（それでも結構大変）、ｙを残すと私の力では解ききれない面倒くささになってしまいました。
どなたか解けたという方は、教えてください。

では、手書きの解答をどうぞ。

解法６～１９の概要

では、解法６以降です。
まず共通しているのは、解法４～５と同様、円と３次関数が接する場合を検討しているということです。

何が違うかというと、解法４～５は方程式に持ち込んでいたのに対し、解法６以降は、やや図形的な処理を利用する点です。
例えば解法６は、３次関数上から引いた接線が、円と接する条件を立式する方針です。解法１４や１５は方向ベクトルを用います。

では、具体的に見ていきましょう。

なお、解法６以降は、この画像の下のほうの表を見るとわかる通り、
A：３次関数C上に点Pを設定して進める
B：円D上に点Qを設定して進める

の２つが対照的に登場します。

そのため、手書きの解法も、左の列が「A：３次関数C上に点Pを設定して進める」で、右の列が「B：円D上に点Qを設定して進める」というように書かれています。（左右を見比べることによって、解法の違いが分かりやすくなる工夫です。）

解法６～７：３次関数の接線が、円と接する

解法６と７は、３次関数上の適当な点Pで接線を引き、それが円と接するという条件を立てるという方針です。
ただ、これでは３次関数そのものが円と接するわけではないため、点Pが円上に存在するという条件も立てます。

まず簡単な後者ですが、これは点Pの座標を円Dに代入するだけでできますね（画像中の※の条件です。）

次に、前者の「３次関数から引いた接線が、円と接する条件」ですが、ここでは２つ紹介します。
解法６：接線と円の中心の距離が、半径に等しい（ｄ＝ｒ）
解法７：接線と円を連立して判別式＝０

解法６のように、点と直線の距離の公式を使うほうが、解法７の判別式より条件式を出すのは、やや計算が簡単になることが多いですね。（画像中の条件マルA）

しかし、※の条件と、マルAの条件を連立しようとすると、（理論上は解けるはずなのですが、）計算が激烈すぎて断念しました。

以上の様子が、この画像の左半分です。

解法８～９：円上の点Qから接線を引き、３次関数と接する

解法８～９は、解法６～７と思想はほぼ同じ。スタートが３次関数なのか、円なのかの違いですね。

円上に点Q（cosΘ,sinΘ)をとり、
これが３次関数C上にある条件（※※）と、点Ｑで引いた円の接線ｍが３次関数と接する条件を立てて、連立します。

※※の条件は簡単で、点Qの座標を３次関数に代入するだけ。
円から引いた接線ｍと、３次関数が接する条件ですが、解法４～５で紹介した通り、連立したのちに

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
【３次方程式が重解になる条件】
①極値が０になる（つまり、３次関数がｘ軸と接する）
②３つの解をα、α、βとおいて、解と係数の関係を立式する
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

の条件を使いました。

①のように極値が０になる条件を使ったものが解法８で、②のように解と係数の関係を使ったものが解法９です。

ただし、解法８～９は、解法６～７と根本的な考え方は同じなので、出てくる式も同じです。
だから、計算が難しすぎて、これも断念しています。

解法１０～１１：接線が一致

解法１０と１１も同じ考え方です。
すなわち、接線が一致するという考えです。
３次関数Ｃ上に点Ｐを取ってスタートしたものが解法１０で、円Ｄ上に点Ｑを取ってスタートしたものが解法１１です。

あとは、手書きの解答を読んでくれればわかると思うのですが、これらは答えが出るレベルの計算でした。（面倒ではありますが）

解法１２～１５：直行条件を利用

解法１２～１５は、直行条件を利用するパターンです。
１２と１３は、傾き×傾き＝ー１の利用で、１４と１５はベクトルの内籍＝０を利用するものです。

詳しくは手書きの解答を見てほしいのですが、おおざっぱに言って、どれを使っても同じような条件式が出てきて、解けます。

解法１６～１７：法線の利用

１６～１７は、法線の利用です。
使い慣れないかもしれないですが、ようするに直行条件を使うのと同じなので、得られる条件式も解法１２～１５と同じになります。

解法１８～１９：ベクトルの平行条件の利用

最後は、ベクトルの平行条件の利用です。
といっても、法線ベクトルを使った後に、ベクトルの平行条件（実数倍）を使うので、結局は直行条件を使うのと同じです。

何が違うかというと、
法線を求めて原点を通る条件を遣ったのが１６～１７なのに対し、
法線ベクトルを出して、原点からの方向ベクトルと平行としたのが１８～１９です。
（要するに、見かけがちょっと違うだけで、ほぼ同じです）

別解をたくさん出したという実績が欲しくて、実用的ではない解法をねじ込んだだけなので、あまり真剣に見なくてもよいと思います。

まとめ：

以上、（後半になるにつれて適当になりましたが）、一通り解法を見てきました。
冒頭にも書きましたが、最も大切なのは解法１であり、解法１を選ぶという判断力です。

具体的に言うと、
・図形的に考えて、極値だの接するだのと考えると、論述が難しくなり、方針を間違えやすくなる。そのため、なるべく方程式の論理に持ち込む。
・円が絡むと、次数が高い方程式が生まれがち。でも、臆することなく進むのが吉。
・来年以降は、どのようなパターンが出されるかわからない。円と３次関数が絡む問題は貴重なので、この際に接する条件などを整理してまとめておくべし

などでしょうか。

以上、一つでも参考になれば幸いです。

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