2021年東大文系数学(第一問)入試問題の研究 

2021年東大文系数学第一問 三次関数と円、実数解の個数

詳細な解き方などの解説記事はこちらからご覧ください。

講評

難易度 やや難

3次関数と円が絡んでいるという「変わった」設定の問題です。
座標上の円は、点や直線、円と同時に出るのがせいぜいで、放物線と絡むパターンですらちょっと難しいパターンに分類されることが多いように思いますので、3次関数と共演するのは珍しいです。

大きく分けて、連立して方程式に持ち込むか、接線などを利用して図形的な性質を利用するか、という2択があると思いますが、今回は前者が、最適解と言えるでしょう。
なぜ、方程式の方が良いかという説明はいろいろできるものの、3次関数や円は図形的な性質の処理が難しいことや、受験生が不慣れなことが挙げられると思います。

方程式に持ち込むと、6次方程式に持ち込まれてしまい圧迫感があるのですが、そこを乗り越えて歩みを進めた「勇者」にはちゃんと救いの手を差し伸べるという、東大の問題作成能力には脱帽です。

また、声を大にして叫んでおきますが、この問題は絶対に来年以降に受験する生徒は何度も解きなおし、分析してほしい問題です。
この問題は別解がものすごくたくさん考えられますし、どの方法をどんな理由で判断するか、考えれば考えるほど勉強になります
別解がたくさん登場すると、どの方法を取るかの判断に時間がかかります。
予備校の難易度判定では簡単めな判定になっていますが、敬天塾では、計算量、発想力、解法の判断力、初見の設定への対応力など様々加味して、やや難と判定しておきます。

当日解いた所感

まずは、第一問の画像をどうぞ。

難易度 やや難

見てびっくり、解いてびっくり!
なんと、円と3次関数の問題。さっきも書きましたが、円は3次関数とは絡まないのが普通。
点や直線、円と同時に出るのがせいぜいで、放物線と絡むパターンですら限られたパターンのみなのが普通です(放物線の軸上に円の中心があるパターン)
それが、飛び越して3次関数と絡むとは、ビックリです。浮気すんな。

また、個人的にもう一つビックリだったのは、円と放物線が絡む問題すら、東大文系では珍しい(出題例ない?)問題だったからです。(検索したら、出て来るかも)

しかし、解いてみると、しっかり関数や方程式の理論が分かっていれば大丈夫な問題なようです。

一番簡単に思いつく解法でいうと、円と3次関数を連立して6次方程式を作り、6解を持つ条件を作ることです(笑)
(この時点で、もうやる気なくす感じしますが)

しかし、この6次関数がx^2で置換できる形なので(代入前の式の形から当たり前なのですが)、x^2=Xか何かで置換します。(x>0)
すると、Xの3次方程式になり、これが3解を持つ条件に持ち込みます。

3次関数が3解持つ条件は、微分して増減表書いて、極値の積が負になるようにするのが普通。
ということで微分すると、なんと因数分解できる!!!!
(ここ、はじめ気付かなくて、こんな難しいの解けるか時間内に解けるかー!!って怒ってたんですが、恥ずかしい)

ということで、極値の条件を作って整理するとお終いですかね。
間違ってたら、シレっと修正しておきます。

関数の理論や方程式の理論は普通なので、標準という難易度設定でも良いのですが、見たことない設定が乗っかっているので、やや難まで格上げしておきます。

再現答案と得点開示を分析して気づいたこと

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