2021年東大文系数学(第四問)入試問題の研究

2021年東大文系数学第四問 整数とコンビネーション

詳細な解き方などの解説記事はこちらからご覧ください。

講評

難易度 (1)やや易
(2)難
(3)(2が解ければ)標準
(4)(3までが解ければ)やや易

(1)は、普通に解きたい問題。合同式を立てて、移項して、場合分けしたらすぐ解けます。東大では過去ずっと、余りに注目した問題が一貫して出まくっています。
新課程で合同式が指導範囲に含まれたので、合同式の利用価値が一層高まっているため、敬天塾では合同式は必ずマスターさせているのですが、それがバッチリはまる問題でした。

面倒なのは(2)以降。
まず(2)が難しい問題。理系と共通問題のようですが、文系にしては厳しいでしょう。
そもそも、多くの文系受験生が、コンビネーションを見た瞬間に血の気が引くでしょう。嬉しくなる受験生は多くないと思います。

それが二つ登場して、奇数だ偶数だの議論に持ち込まれたら、手も足も出ない人もかなりいたと思われます。
恐らくコンビネーションを階乗(!)で表して、それっぽい事を書いて終わるのが関の山でしょうか。

そして、(3)。
(2)が解ければ、難易度は下がりますが、結局は(2)次第の問題のようです。これは点数を取れなかった受験生ばかりでしょうね。

(4)ですが、この問題は、(2)と(3)が解けなくても、その2つを解いた前提で答えちゃって良い問題。
つまり(2)と(3)で得られる結論を(証明ナシに)使って解いちゃえば点数になります(恐らく、そういう採点基準になっているのでは?)

すると意外に簡単に答えが出ます。
東大ではこういう問題もたくさん出題されますから、(2)が出来ないからって、(3)以降を諦めないようにしましょう。

余談ですが、この問題も面白いですよね~。
受験生は試験会場で面白がる余裕はないでしょうが、解きなおしてみると面白い。こんな問題作れないわ!と心から思います。

当日解いた所感

難易度 (1)やや易 (2)難 (3)標準~難 (4)やや易~難

難易度設定の難しい問題です。
(1)は、普通に解きたい問題。合同式を立てて、移項して、場合分けしたらすぐ解けました。

面倒なのは(2)以降。
まず(2)が難しい問題。理系と共通問題のようですが、文系にしては厳しい問題かなという印象です。
そもそも、多くの文系受験生が、コンビネーションを見た瞬間に血の気が引くでしょう。いや、血圧上がるかな。
いずれにしろ、良い気分にはなりません。

それが二つ登場して、奇数だ偶数だの議論に持ち込まれたら、手も足も出ない人が多いと思われます。
恐らくコンビネーションを階乗(!)で表して、それっぽい事を書いて終わったのではないでしょうか。

そして、(3)。
これ以降は(2)が解ければ難易度が下がりますが、(2)が解けないと(2)の難易度に引きずられるので、高めの設定にしておきました。

(4)も同様で、やや易~難(笑)
でもこの問題は、(2)と(3)が解けなくても、その2つを解いた前提で答えちゃって良い問題。
つまり(2)と(3)で得られる結論を(証明ナシに)使って解いちゃえば点数になるのです。

すると意外に簡単に答えが出ます。
東大ではこういう問題もたくさん出題されますから、(2)が出来ないからって、(3)以降を諦めないようにしましょう。

ちなみに、ツイッターで「文系で(4)まで小問があるなんて珍しい。いつぶり?」という投稿をいくつかみましたが、
「2017年第4問に出てるから、最近だよー」と思って読んでました。
2017年第1問の解説記事

それにしても、面白い問題ですよね。こんな問題、僕には絶対に作れないです。
本当に、東大の先生方はすごい。尊敬します。

再現答案と得点開示を分析して気づいたこと

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