昨日の東大入試数学を全て解いたので、1問ずつ軽く講評してみました。

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昨日は国公立大学の前期日程試験でしたね。

東大では、今日も2日目の試験が行われる予定です。

 

東大では初日に、国語と数学の入試が行われます。2日目の今日は、理科社会と英語です。

数学の動画を配信したり、イベントをやっていることもあり、もちろん昨日のうちに、全ての東大の数学入試を解きました。

 

文系4問、理系6問で計10問。

今年は文理共通問題2問あったので、事実上は8種類の問題が出題されたことになります。

(厳密には、共通問題は1問で、もう1問は条件が違いますけどね)

 

文系100分、理系150分の試験時間ですが、昨夜、他の仕事をしたり、メールを返したりしながら、多分120~130分くらいで解き終わりましたね。さすがに8問入試を解くと疲れます(笑)

 

という事で、今日は3分でわかる最新ニュースは中止して、東大入試数学について、1問ずつ軽く触れていこうと思います。

そして、出来れば、今日の夕方のブログで詳しく取りあげたい!!(時間が間に合えば)

 

まずは文系第1問

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2017年 東大文系数学のオススメ作戦

今日も訪れて下さり、ありがとうございます。

 

東大入試が終わってから、毎日解説を更新してましたが、今日と明日は僕の特徴的な記事を書こうと思っています。

普通であれば、入試問題を一問ずつ解説するだけで終わる事が多いと思いますが、入試は解く事よりも、合格点を取る事が目的です。

 

ということで、一問ずつ満点を取る解説だけではなく、合格点を取るための考え方も書いているのです。

具体的には、試験時間の使い方です。

 

問題冊子を配られ、開いてから試験が終わるまでに、どういう事を考えるか、どの順番で問題を解くか、どの問題にどれだけ時間をかけて、どの問題を解かないか。

全ての問題に全力投球するのが、必ずしも良い作戦とは限らないのです。

 

野球でも、飛んできたボールに全てフルスイングするバッターはいないですし、サッカーでもプレイヤー全員がボールに飛びついていてはゴールががら空きになってしまいます。

全力を投入するのは大事なのですが、全力を投入するべきタイミングと場所があるということです。

 

これも、書くとキリがないのですが、せめて過去問分析は、その年に出題された問題を全て見比べながら行って下さい。

一問ずつ見るのではなくて、横に並べて見比べるのです。

すると、合格点を取るために、どの問題で何点ずつ取るのか、少しずつ見えてくると思います。

 

あとで詳しく書きますが、今年の東大文系数学で取りたい点数が、30点なら、40点なら、50点なら、60点ならと、それぞれで何点ずつ取るか一例として挙げています。

 

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2017年 東大理系数学 オススメ作戦

では、昨日に続きまして、今日は理系のオススメ作戦です。
趣旨説明については、昨日の記事に書きましたので、こちらのページの上の方を読んでから下にどうぞ。
では、1問ずつコメントをしていきます。

2017東大理系数学

まず第1問。

(1)は、とにかく計算をミスしなければ解ける問題。こういう問題には時間を多少かけてでも取り組むべきです。部分点をもらいましょう。
(2)も、最小値がゼロということで、コテコテの問題です。というか、二次関数ですからね。高1から慣れているテーマなので、是非とも取りたい問題です。いわゆる、パラメータ付きの場合分けの問題ですし。
時間をあまりたくさんかける問題ではないですが、多少かけてでも取りに行く問題です。
優先順位は高め。

次に第2問。

これも、理系の確率の問題にしては取り組みやすい問題でしょうね。確率が苦手だからと言って後回しにする人もいますが、勿体ない!
設定も簡単だし、反復試行だし、丁寧に場合分けや設定の読み込みをすれば、そこまで悩む問題ではないはず。
最悪、色々と書き出してみても良いと思います。が、ただ、他にも短時間で得点出来る問題があるので、バランスは見ながらでしょうか。
数学が得意で、差を付けたいなら、大量の部分点を取りたい問題。

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2017年 東大数学 文系第4問 理系第4問 の解説(過去問とそっくり)

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2017年 東大数学 文系第4問 理系第4問

整数の解説を書き続けてますが、今日の問題はこれ。

 

共役な無理数は気付かなくちゃダメ

 

実は、この問題の解説を書くのは2度目なのですが、なぜまた書くかというと、前々回の1997年の問題と、前回の2003年の問題の流れで見てほしかったからです。

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2017年 東大文系数学 第3問 理系数学 第2問の解説(場合の数・確率・反復試行)

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センター試験を成功させて、入試を突破しよう!産経新聞社のウェブサイトで私のコラムが配信されています。

バックナンバーはこちら。

第1弾:大学入試センター試験に間に合う!1カ月で膨大な知識が覚えられる暗記法(上)

第2弾:大学入試センター試験に間に合う!1カ月で膨大な知識が覚えられる暗記法(下)

第3弾:1カ月でセンター試験の英語の得点が50点上がる方法

第4弾:ピリピリする受験生を成功に導くために親がすべき7つのこと

第5弾:合格しない人から合格する人になれるイメージ戦略

2017年 東大文系数学 第3問 理系数学 第2問の解説

昨日の告知に続き、まずは2017年 東大文系数学の第3問と、理系第2問です。

まずは、問題を。

文系第3問は・・・

 

 

そんでもって、理系第2問は

 

見比べると分かりますが、文系の(2)と、理系の(1)が同じ問題ですね。

文系では、もっと簡単な・・・というか死ぬほど簡単な(1)が追加されていて、

理系はちょっと手間がかかる(2)が追加されているという感じ。

まずは、文系の方から片づけてしまいましょう。問題の設定を読んで下さい。

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2017年 東大理系数学 第6問(立体・体積・積分・三角関数)

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2017年 東大理系数学 第6問

さあ、東大お得意の立体図形の求積!

これは難しいですよね。問題文の意味を読み取るのは、読み取れたとしても立体のイメージが掴めない。

一体、どんな形をしているやら・・・。

とは言っても、(1)はそれほど難しい問題ではありませんね。Pの座標を(x、y、z)でおいて、立式すれば解けます。簡単な軌跡の問題です。

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2017年 東大理系数学 第5問の解説(二次関数・二次曲線・放物線・接線・判別式)

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2017年 東大理系数学 第5問の解説(二次関数・二次曲線・放物線・接線・判別式)

まずは、問題から。

数学を体系的に教えるべき

東大の数学は確率や整数が難しく、関数の問題が比較的簡単になりがち。
そういう意味で、この問題は受験生が得意そうな問題。

特に接線関連の問題はたくさん問題集にも載ってますし、それほど複雑にならないことが多いので、見た瞬間に手を付けた受験生が多いでしょうね。
実際に解いてみても、あまり深いことを考えず、なんだかゴチャゴチャ計算していたら解けちゃった、みたいな問題です。

僕は今の数学教育は、計算訓練にすぎないと思っているのですが、接線関連に関しても同様で、割とその場しのぎで解いている人が多い印象です。理論的、体系的に教え、考えるべきだと思っているのですが。
とそんな愚痴はどうでもよいとして、解答の方針に行きましょう。

(1)接線の解法

まず(1)は共通接線の条件を立式するわけですが、今回はy=ax+bの式と、2つの放物線が接しているとのこと。
接する条件には色々ありますが、今回は素直に判別式で良さそうですね。

もう少し細かく言うと、例えば3次関数とか、指数や三角関数が含まれている関数であれば、微分を用いるのでしょうけど、そういうわけでもないし、
接点が分かっていれば、接点から接線を引く事も出来るんですが、ちょっと使える形ではない。

まあ、接するのが放物線(二次曲線)ですからね。あれこれ考えず、判別式を創っちゃえば良い、ということでしょう。
という事で、(判別式)=0の等式を2本立てると、(1)は解けてしまいます。

不明量がaとbとkで3文字。
それに対して、(判別式)=0の等式が2本です。
そして、問題文の要求が、bとkをaを用いて表せという事ですから、1文字分余ってOK
という事で、方針の目途も簡単に立ちます。

あまり深く考えず判別式というのが、良いでしょう。

丁寧に問題文を読もう

次に(2)。
まず何も考えず、a=2を代入するところから始めます。
すると(1)の結果を使ってbとkの値が出ますね。
これで部分点は確保です。
ここまでは簡単だから良いとして、問題文の意味を理解しているでしょうか?
丁寧に読み解きましょう。

問題文には
「傾きが2の共通接線が存在するようにkの値を定める。」
とあります。
傾きが2とあるので、a=2を代入したわけで、このaに対してkの値が定まります。

その次に
「このとき」
とありますが、これは
「a=2に対応するkの値のとき」
という意味です。

続いて
「共通接線が3本存在することを示し、それらの傾きとy切片を求めよ。」
とあります。

つまり、今求めたkの値の時に共通接線が3本あって、そのうちの1本がa=2かつ求めたbであるということです。
ということは、kはこれ以上いじらなくて良くて、aとbはあと2組求める必要があるのです。

という事で、今度は求めたkの値を元の式に代入して、aとbの値を探していく作業に移ります。

この辺りがややこしてくて、少し混乱するかもしれませんが、東大入試にしては簡単でしょう。
もし「共通接線を全て求めよ」だと、難易度が上がるのですが、今回は3本と言われてますから、悩みません。

逆関数の扱い

気付かないと解けないわけではないですが、補足説明として逆関数に触れましょう。

冒頭に与えられた2つの放物線が、逆関数になってますよね。
だから、a=‐1は、kやbに関係なく、常に解になっています。

あと、最後に求めたaの値も、2と1/2ですから、これもy=xに関して対称になってますね。
この辺りに注目できると、計算ミスも防げそうです。

では、最後に手書きの解答をご覧くださいませ。

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2017年 東大理系数学 第3問(複素数平面・垂直二等分線・軌跡・反転)

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2017年 東大理系数学 第3問(複素数平面・垂直二等分線・軌跡・反転)

出ました!複素数平面です

反転がテーマの問題

複素数、苦手な方が多いと思いますが、このレベルは解きたいところ。少なくとも、半分以上の部分点は取っておきたいところですね。

この問題は「反転」と言われる問題です。(z=1/wと置換することを「反転」といいます。)
原点からある半直線を引いて、その上にPとQの2点を取った時に、OP×OQ=一定となるようにPとQを動かす操作のことですね。
Pが直線を動くとQが円を描いたりして、面白い連動の仕方をします。

数学の先生なんかでは有名ですが、知らなくても入試問題は解けてしまいますから、必ず知らなきゃいけないものではありません。ということで、先生の中でもしっかりと勉強している人は少ないのでは!?
一応、青チャート何かでは触れられてるテーマなんですが。

この問題もしかり、入試問題を解くだけならば、知らなくても済むテーマなので、今回は反転の解説はしませんが、そういうテーマがあることだけは触れておきます。

(1)垂直二等分線の立式をすればOK

さて、問題へのアプローチの仕方ですが、まず(1)はzが垂直二等分線上を動くという条件です。
原点Oと、点αの垂直二等分線上ということで、|z|=|z-α|と作ればOK。
※垂直二等分線というのは、2点からの距離が等しい点の軌跡でもあります。中1の作図で習いますね。
このzに1/wを代入して、基本通りの変形をすれば解けます。教科書の例題にされかねない簡単さです。

線分の上を動く点の処理

次に(2)ですが、これは少し頭を使います。
まず、βとβ^2ですが、これを求めるところまでは行けますかね?
数Ⅱでは、複素数と方程式に出てきたω(オメガ)の話が通用しますし、数Ⅲならば複素数を使っても求められます。
求め方は、手書きの解答に載せておきましたが、βとβ^2が、縦に並んだ2点になりますね。

そして、zがβとβ^2の間を動くとのこと。
要するに(1)と似ている設定になるわけです。(直線を動くという意味で)
具体的には、(1)でα=-1にすると、そのままwの軌跡が求められます。

但し、zは直線上全てを動くわけではなく、βとβ^2の間、つまり線分の間しか動きません。
よって、wの軌跡も全体にならない(かもしれない)

という事で、どの部分が削られるかを調べれば、解答が完成です。
その、削り方が難しいんですが、今回はargを使ってます。不安ならば、実際にzに値を代入してみて、wの場所をチェックしても良いですね。

では、手書きの解答をどうぞ

最後、全体の軌跡から、wが通らない所を除外する所が難しいにしても、部分点は大量に取っておきたい問題です。

複素数も頻出ですから、来年の受験生は、要復習です。

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2017年 東大文系数学 第4問 理系数学 第4問 (ユークリッドの互除法・漸化式・対称式・最大公約数)

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2017年 東大文系数学 第4問 理系数学 第4問 (ユークリッドの互除法・漸化式・対称式・最大公約数)

2017年は、整数問題が文理共通でした。
簡単だ、簡単だと言われ続けている今年の数学ですが、これは難しかったと評判です。

共役な無理数に気づけ!

僕はこのHPや、アメブロでいつも「解く前に問題文を最後まで読み、読み取れる情報を読み取れ!」と言い続けていますが、この問題は非常に面白い!
解かずに通読しただけで、かなりたくさんの情報を読み取れます。

まずは、対称式。気づきました?
p=2+√5に対して、pのn乗と、-1/pのn乗があります。
大抵こういう時は、共役な無理数になるものなのです。そして計算してみるとやっぱりそうなる。
こういう「パターンの知識」をしっかり積み重ねるのが、数学の勉強です。

共役な無理数ときたら、対称式

そして、共役な無理数が登場したら、対称式がセットで出てきます。

和と積を計算してみてください。
両方とも整数値になるはずです。ということは、対称式の計算がしやすいのです。

この問題は、共役な無理数のn乗の和になってますが、これも対称式を大いに使う問題なのです。

それが、漸化式の利用なのです。

そして、漸化式を作る

共役な無理数のn乗の和が出たら、必ず登場する性質があります。
それが「nにかかわらず整数になる」というもの。
つまり、この問題の(3)の問題のことです。

東大でも過去に何度か出ています。
分かりやすいところで言うと、2003年、1997年、1993年の問題でしょう。
(今後解説をアップする予定です。)

証明の仕方は、漸化式を作って帰納法で証明です。

漸化式の作り方

で、その漸化式の作り方ですが、(2)そのものでした。変な問題に見えて、非常に基礎の積み重ねの延長にある問題です。
n乗の和を、n-1乗の和と、n-2乗の和で表すものですが、いつもの計算の流れ。
この機会に覚えてしまいましょう。

一応、手書きの解答には、2通りの解法を載せておきました。
1つは、模範解答でも載っているような、最短での計算方法で、
もう一つは、面倒で遠回りだけど、絶対に求められる方法です。(pのn乗と、-1/pのn乗を不明量とみなし、連立方程式で無理矢理解いてます。)

(4)は難しい

(4)は最大公約数を求めよという問題。これが、難しかったと評判ですね。
ただし、僕としては「なんで難しいの?」という感じ。

数学ⅠAⅡBⅢで習う項目を頭の中で一度検索しなおしてください。
最大公約数に絡む定理や性質、問題パターンは多くありません。真っ先に思い浮かべるのが、ユークリッドの互除法ですから、むしろ自然な発想です。
(他にも、GCMとLCMを使って、等式を作るタイプもありますが)

(2)で漸化式を求めておけば、an+1と、anの最大公約数が、anとan-1の最大公約数になることが分かります。
そして、漸化式を一つずらせば、anとan-1の最大公約数が、an-1とan-2の最大公約数になり、
またずらせば・・・と、繰り返すと結局a2とa1の最大公約数になります。

難しいなと感じた方は、頭の中の回路で「最大公約数=ユークリッドの互除法」と強く結び付けておいてください。

ということで、手書きの解答です。どうぞ。

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