2015年東大理系数学第六問の解説(数Ⅲ、積分、ハサミウチの原理、極限)

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2015年東大理系数学第六問の解説(数Ⅲ、積分、ハサミウチの原理、極限)

2015年 東大入試数学 理系第6問 解答解説

さあ来ましたよ。文系の人が卒倒しそうな数式のオンパレード!

「場合の数・確率」の問題かと思わせる文字の量です。

 

どうすれば、その解法が思いつけるか

僕はこれまで、入試の解説を聞いたり読んだりした時に、

「そうすれば解けるのは分かるけど、その発想にならないんだよ!!」

と思ってきました。皆さん、いかがでしょう?

そういう過去があるので、今までもなるべく「発想の仕方」とか「解法の思いつき方」を意識して書いてきました。

 

そのヒントとして、問題を解くときの心構えが2つあります。

①問題のカラクリを見抜こうとしよう!

②似たような特徴を持つ定理や性質を連想しよう!

 

要するに見抜いて連想するわけですが、大切なのは、見抜けるかどうかより、見抜こうとしているかどうかです。

入試本番中は見抜けないといけませんが、入試までは訓練期間。訓練中に意識してやったことが、本番では無意識で出来るのです。

 

ただぼーっと問題文を眺めていて見抜いたことは、ただのラッキー。カラクリが見抜けない時こそ、問題文をじっくり見て見抜こうとする姿勢を取って下さい。

 

読解と精読

突然ですが、読解力はありますか?

東大理系を目指す人は、大抵国語が苦手です(笑)私も元々理系でしたから、国語がイヤな気持ちがよく分かるのですが、、、。

アメブロで「読解をしよう」というのを書いてますので、読解力がないなと感じる方は、是非そちらもご覧くださいませ。

 

さて、そのシリーズで私は、精読と読解の違いを連呼しています。

精読とは、文章に書かれている情報を読み取ること

読解とは、文章にかかれていない情報を読み取ること

です。

数学も同じで、文章に書かれている事も、文章に書かれていない事も読み取る必要があります。文章に書かれていないことを読み取れるとき、上に書いたような「見抜いた」感じがすると思って下さい。

その意味で、数学も国語も非常に似ています。

 

とりあえずグラフは書いてみる

数学の解説授業を聞いていると、先生がグラフを書くときと書かないときがありますね。「このグラフを書いてみると・・・」とか「このグラフは書かなくても良いから・・・」と言って、授業が進みます。

その判断、皆さんはどうしているでしょう。

 

グラフを書かなくて良いかどうかは、答えまでの道筋を知ってるから判断出来るものですね。答えまでの辿り着き方がわからないうちから、判断出来るとは限りません。
ひとまず、手当たり次第書いてみるというのが良いでしょう。訓練中の身ならなおのことです。

ということで、gのグラフを書いてみるとこうなります。
2015年 東大入試数学 理系第6問 解答解説

グラフから読解しよう!

グラフを書くのが精読なら、ここから情報を読み取るのが読解。何がわかるでしょうか?
山になっているとか、線対称(偶関数)とか色々分かりますが、一番大切なのはy≧0だという点です。
なぜなら、その後f(x)と絡ませるからです。

不明な関数は、深く考えずに

f(x)の正体は不明。しかし、定義域と値域が分かっています。

こういうときは、-1/n≦x≦1/nと、p≦y≦qの長方形に収まってる関数なんだろうなぁと思っておけばOK。
余り深いことを考えず次に進みましょう。

積分の不等式についてのまとめ

2つの関数の積があって、それが積分されています。さらに、不等式でpとqに挟まれていますね。
こういう問題は定石の手段があります。こういう定石の手段を一つ一つ押さえていくのが数学の勉強なんですけどね。

今回の場合、f(x)が不明な関数です。不明な関数を積分する事は不可能。よって、p≦f(x)≦qとしてしまいます。
これにgの関数を掛けて、不等式を作ってしまうわけです。これ、よくあります。

ちなみに、この時g(x)≧0だったことが効いてきます。
負の数の不等式を単純に掛け算することは出来ませんからね。不等式の積分が問題文に見えた瞬間に、g(x)≧0じゃないかと予想出来るようになったら、中々の実力です。

ちなみに、東大で理系を目指すならば、不等式を見た瞬間に「ハサミウチの原理」を連想できなければ、失格だと思いましょう。
特に、「不等式と極限」を同時に見て連想できなければ、大反省。

どちらかが隠されて登場することも、よくありますから、片方だけでも反応出来るようになっておいてくださいね。(見抜いて連想する、の話の続きです)

あとは、gの関数の積分が出来れば、(1)は終わり!
積分計算も、それほど難しくないので、計算に気を付けて終わりです。

 

見抜こうとすると、見えないものが見抜ける=問題が解ける

では(2)へ。
問題文を見ると、何となく(1)に似てるな~というのは気付けるでしょう。
gと同じように、hの関数も定義域によって違う関数を組み合わせてるし、インテグラルの中身を見ても、二つの関数の積になっている。
多分、(1)が誘導になってて、(2)をと言うんだろうな~と思えると思います。
(というか、数学の問題は全て誘導だ、というのが、私の口癖ですが)

 
但し、気付きづらいのが、gとhの関係ではないでしょうか?これは、パーッと眺めていたら気付けない方も出て来るでしょう。
何か隠されているのでは・・・?と疑って「見抜こうとする姿勢」が、効果を発揮します。

問題を出題する人の心理に立つと、良くわかります。
出題者はいつも、どれくらい露骨にヒントを出そうかなと悩みます。こんなに露骨だと簡単になっちゃうけど、隠し過ぎると難しい。
少し考えれば気付くレベルに、何とか落ち着かせるようと工夫します。
だから解く側も、「何が隠されてるのか??」と疑ってみる事が大切。つまり見抜こうとしないといけません。

今回の問題は、gを微分するとhになっています。
係数や、sinとcosの関係がヒントです。これに気付いた瞬間、勝利が見えてきます。

さて、最後に書かれているインテグラルの中身ですが、hとlogの積だと思わず、(gの微分)とlogの積だと思うと、次の一手が想像できます。
それが、部分積分。

gの部分を積分したら(1)が使えるけど、どうしたら・・・?と発想を広げた所に答えがあります。
ちなみに、hのグラフを書いてみると分かりますが、正になったり負になったりして、(1)の結果が使いづらいですね。この辺りから発想しても良いかも。

ボーっと歩いていると道端の石に気付けませんが、石を探そうとすると見つかります。
不等式と極限からハサミウチの原理も連想できていれば、完答は間近。

あとは、手書きの解答をご覧くださいませ。
2015年 東大入試数学 理系第6問 解答解説
2015年 東大入試数学 理系第6問 解答解説

色々と工夫の多い問題でしたね。とても勉強になります。

やや難しい問題、と評されることが多いですが、計算はそれほど難しくありません。やはり発想を得るところが難しいでしょう。
日ごろから見抜く姿勢を心がけることによって、養われます。
差がつく問題だと思いますので、是非しっかり復習を!

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2015年東大理系数学第五問の解説(整数、二進法、コンビネーション)

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2015年東大理系数学第五問の解説(整数、二進法、コンビネーション)

今日は2015年の理系数学、第5問
シンプルなので、登場した時はそれなりに話題になった問題です
2015年東大入試数学 理系第5問解答解説

1行の問題。そして、問題の意味は分かりやすいのですが、証明がやたら難しい!!
予備校の講評でも難問題指定されていましたね。
いくつかコメントしていきましょう。

2015年にちなんでる問題

問題の解説ではありませんが、2015年の入試問題だけあって、2015を使っていますね。昔からコテコテの出題パターンです。
(とは言っても、ポイントになるのは、2016が32で割れても、64で割れないということなんですけどね)

次の入試は、2018年の出題ですから、2018にまつわる問題が出るかもしれませんね。
2018=2×1009 で、2017は素数でした。2019は3×673です。
覚えておくと得する!?

コンビネーション抜群!

2015Cmにおいて、mを1から順番に変えていくと、分母と分子がキレイに2で割り切れていくことが分かります。

2015C1=2015は当たり前で奇数として、
2015C2 =2015×2014÷2で、2015×1007
こういう感じでしばらく続けていくと、必ず分母と分子がキレイに2で割り切れてしまいます。

しかし、問題文を読むと、いつかは分子の方が分母より2がたくさん登場して、偶数になるらしい。
ということは、2がたくさん登場する数を探せばよいということで、2015になるべく近い4の倍数、8の倍数、16の倍数、32の倍数・・・と探していきます。

32の倍数が消滅!?

具体的には、2015C4 、2015C8 、2015C16 、2015C32 ・・・と探していくのですが、
32の倍数が初めて登場するはずの1984が、一つ飛び越して64の倍数になっています。

これは、もしかしてm=32が答えなのかも!?
と思って証明を始めていくのが、自然な発想なのではないかと思いますね。

証明が難しい

答え(の候補)は分かったのですが、これを記述しようとすると、かなり難しいです。
中学入試のように、mを32まで一つ一つ代入して計算しても、満点解答になるのですが、あまりにも時間がかかりすぎる。

さきほど書いたとおり、2015Cmの分母と分子がキレイに2で割り切れていくのが、何とか記述出来れば良いのですが・・・
ということで、あまり見た事はないかもしれませんが、手書きの解答のようになります。

但し、この証明難しいのは、2015より一つ上の2016に注目いなければ書けない所です。
2015Cmというと、2015より小さい整数には着目出来るのですが、逆の2016が32の倍数になっているのがポイントです。

これに気付くのは相当大変かと思いますね。
少なくとも、教科書には記述されていない考え方のような気がします。
ということを踏まえて手書きの解答をご覧くださいませ。

2015年東大入試数学 理系第5問解答解説

2015年東大入試数学 理系第5問解答解説

合格点を取るためには・・・?

大学入試の数学では、答えはわかってるのに、記述出来ないということが往々にして起こります。この問題もその通りで、答えが32になるのは分かってても、それを証明出来なくて困る問題です。

こういう問題に対して、満点を取れる解答の書き方を学ぶのは大事なのですが、入試の限られた時間の中では、手を出さない方が得策でしょう。

入試というのは、合格点を取る事が目的であって、全ての問題に正面からぶつかる必要はありません。
戦争で言えば、敵を全滅させなくても良い。相手の大将に降伏させれば良いのです。

落としてはならない城がある
という言葉を、大先輩から教えて頂いたことがありますが、まさに入試でも同じ。
僕だったら、32と推論した根拠を解答用紙に書いておいて、証明の方針だけ書いて終わるような気もしますね。

短時間で解けるのが最高ですが、長時間で解ける問題は、罠になり得ます。
この見極めの訓練も非常に大切でしょう。

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2015年東大理系数学第四問の解説(漸化式、連立方程式、フィボナッチ数列)

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2015年東大理系数学第四問の解説(漸化式、連立方程式、フィボナッチ数列)

2015年 東大入試数学 理系第4問 解答解説

(1)は簡単

さあさあ、出ましたね漸化式。それも、結構複雑そうタイプ。
問題文の1行目に登場する、分数や二乗が入ってる漸化式なんて、まず見た事ないでしょうし、(1)に登場する漸化式はもっと複雑です。
ただし、(1)はやる事が明確!
「nによらない事を示せ」というのは、「数列の順番が変わっても値は変わらない」ということ、もっと言えば「定数の数列」ということです。
具体的な解法としては、与えられた数列を別の数列に置いて操作するのが、やりやすいでしょう。後でご覧頂く手書きの解答では、問題文の中にpとqが見えるので、その次のrを使ってます。n+1番目とn番目の値が同じだと示せれば、完了です。

 

(2)難しそうで、ただの連立方程式

次、(2)ですが、漸化式を作れという問題。
でも、僕からしてみれば、ただの連立方程式です。式が複数あって、不要な文字を消し、必要な文字だけ残せば自然と答えが出ます。

そして、計算過程で使う方法も、せいぜい代入法と加減法くらいなもの。方程式の解法については、こちらの記事に書きましたので、よろしければどうぞ。
この東大の問題に関してで言うと、問題文の式、(1)で使った式(定数は3でした)の2種類ありますが、求めたい関係式が、Pn-1が登場する関係式ですから、その2種類の式を変形していても絶対に求められません。
よって、使える2種類の式の順番をずらして、n-1が登場するようにしましょう。
手書きの解答には、最短最速で解答が出せる方法かどうかわかりませんが、ストレートな考え方と計算方法を踏まえて、確実に答えが出る解法を載せておきましたので、少しややこしいのかもしれませんが、ご了承下さい。

(3)漸化式の証明 ⇒ 帰納法

さて、最後に(3)ですが、「二つの漸化式が、実は同じ値でした」というのを証明する問題ですね。

pの数列が、実は簡単な漸化式だったといのが(2)の結論でしたが、(3)で登場するqの数列もシンプル漸化式ですから、同じになるというのも、納得かもしれません。
さて、解答の方針ですが、帰納法が一般的でしょうね。
なぜ帰納法という発想になるかと言うと、言おうと思えば様々ありますが、大学受験生ならば
数列とか漸化式とか整数が絡む証明問題は、帰納法を使え!
というくらいの認識で、それほど間違えないでしょう。漸化式と帰納法は非常に相性が良いのです。
さらに、細かい計算過程の方針を言うと、pとqの数列が等しいと言いたいので、どちらかに統一します。
手書きの数列では、qに統一しました。
また、qの数列に統一した後も、順番がバラバラなので、端っこの順番を真ん中に寄せるように変形すると上手く行くでしょう。
さらに愚直な方法として、pとqの数列の一般項を出して比較しても良いでしょう。ということで、手書きの解答の最後の余白に計算して載せておきました。確かに一致しますよ。
ということで、正解を導き出すまでの思考の仕方はこれくらいで良いでしょうから、細かい所は手書きの
解答でどうぞ。

2015年 東大入試数学 理系第4問 解答解説

フィボナッチ数列登場

最後に、(3)で登場したqの数列は、よく見るとフィボナッチ数列ですね。数学オタクの大好物ですが、数学に興味がない人から見ると変人に見られます(笑)
フィボナッチ数列っていうのは・・・と語りだすと、長くなりすぎるので今日はここまで。いずれ、そういう特集で記事をかけたら面白いんですけどねー。

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2015年 東大数学 理系第3問の解説(微分、積分、共有点の個数、体積、回転体)

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いきなり余談

先日、私のHPを見て東大に入学したという方とお話したんですが、印象に残ってる記事として、本シリーズを挙げてくれました。

この、東大入試数学の解説を書くのって手間がかかるんですよね。
東大入試を解きなおして
問題の解法やポイントを整理し直して
ブログの本文の部分と手書きの解答に書く部分を決めて
手書きの解答を作って(これが一番大変)
それをスキャンして

と、一つの記事を書くのに3~4時間かかるので、余裕のある時にしか出来ないのです。見知らぬ誰かのためになっていると知れて、非常に救われましたね。

他の塾や予備校の数学の解説とは、意識的に差別化して書いていますので、そういうポイントに注目してもらえると非常に有り難いと思うのですが、皆さんお分かりでしょうか?

・一問ずつの解答(技術、戦術レベル)だけではなく、その年の問題を全て解説する。(先生は、解説出来る問題しか解説したくないという心理があるので)
・同じ年度の問題を横に並べて比較検討し時間配分や、点数配分に言及する(作戦レベル)
・解答の流れだけではなくて、どうしたらその解答が思いつくかという、発想の得方に力点を置く。
・あっと驚く(つまり、先生だけが思いつくような)素晴らしい解答ではなく、教科書の勉強を地道に積んだ生徒が書きやすい解答を優先する。

などなど、僕なりに気を遣って書いてました。
あんまり同業者に見られたくないポイントもあるんですけど(笑)、まあそういうところも含めて楽しんで読んでもらえれば良いかなと思いますね。

では、前置きが長くなりましたが、2015年の第三問です。

2015年 東大数学 理系第3問の解説(微分、積分、共有点の個数、体積、回転体)

2015年 東大入試数学 理系第3問 解答解説

一読して最後まで予想がつく

読んだ第一印象として、あまり悩まず、最後の方まで予想が付く問題。
だって、グラフが接する条件を求めて、定数の値を出すのが(1)。んでもって(2)で求積して、(3)で特定の値の時に限定するわけです。
しかも、回転体の体積って、中学受験とか、高校受験じゃないんだからと。
教科書の章末問題でも、同じ流れの問題が出るんじゃないかというくらい、非常にスタンダードな流れの問題。

解く上で考えること その①必ず部分点を取る

こういう問題に出くわしたら、少なくとも2つの事は思いましょう。

1つは、必ず部分点を取るべき問題だということ。
この問題のレベルで、全く手が付かないようでは、かなりマズイでしょうね。計算が煩雑で手がストップしてしまうことはあるかもしれませんが、方針が立たなくてストップするのは非常にマズイです。
計算が面倒でなければ、満点を狙ってもおかしくない問題ですから。

解く上で考えること その①計算が面倒になることを警戒せよ

もう一つは、計算が面倒になるかもな、と警戒すること。
いや、もちろん解いてみなければ分からないんですよ。積分の計算過程まで、問題文から予想出来なくても良いですし、する必要はあまりないと思います。
しかし、東大入試って煩雑な計算をさせることも多いですし、このシンプルな問題で計算が簡単で終わる事はないだろうと、少なくとも警戒はしましょう。

逆に、物凄く計算が簡単になるように、数字が設定されているとしたら、絶対に高得点を取らなくてはならない問題になります。取らなきゃ死亡、取っても差を付けられる問題ではないというくらいに思って良いでしょう。

2曲線の共有点が1つになる条件

では、一つ一つ見ていきますと、(1)は「2曲線の共有点が1点のみになる条件」を求める問題。
これが、二次関数と直線だったら、判別式が0だけで終わりなんですけどね。
残念ながら極値や凹凸、漸近線などを知らない(という振りをして)解かなければならない問題です。

logの方に関しては、教科書に書いてあるグラフですから、グラフの凹凸や漸近線など知ってる前提で進めて良いですが、
ax^pの方は、(どうせ、あんな形になるだろう)とほとんどわかっているにも関わらず、ちゃんと調べなきゃいけない曲線です。

さて、2つの関数の共有点の個数を調べる時には、別々にグラフを書いて調べたりしませんね。
差を取った関数のグラフを書くのが定石です。

差を取って、微分して、増減表を書いてみると、一度だけ極小値を取って、両端は単調増加になる関数だと判明しますね。
あとは、両端の極限を取ってみると、どちらも正の無限大に発散。ということは、極小値でx軸に接するしかないという結論になります。
以上、回り道したように思えますが、予想通り接する条件になりました。めでたしめでたし。
細かくは、手書きの解答で確認して下さい。

積分計算して終わり♪

次に(2)ですが、(1)で得た情報をもとにグラフを書いて、該当する部分を確認して、積分計算をすれば終わりですね。
そこで、やはり出ましたよ。(log)^2の積分計算!これは面倒ですね。

さて、僕が常日頃言ってる事ですが、面倒な計算は罠(の可能性が高い)です!
面倒な計算は、やたらと時間がかかる割に、計算ミスの可能性が高い。
つまり無暗に時間を使って、1点も得られない可能性があるわけです。

こんな問題に優先的に時間を使うのは下策だと思うのですが、受験生はマジメですから、生じた問題には手を出してしまうんですよね。
「落としてはならない城がある」と言う言葉を、よく覚えておいてください。

等式を解いて終わり♪♪♪

但し、この問題に関しては(3)があります。
しかも、(3)は非常に計算が簡単な可能性が高い!(2)の計算結果を、=2πとするだけですからね。
ということは、(2)で正解出来れば(3)も正解出来るわけです。

「(2)は罠だから時間をかけすぎるな」と言いましたが、(2)さえ解ければ(3)までの点数がもらえる。そのメリットを見越して、あえて(2)以降に時間を多めにかけるなら、作戦としてアリでしょう。

以上、手書きの解答以外で必要な部分は触れました。あとは下の画像を見ながら、細かい計算の仕方を確認しておいてください。
2015年 東大入試数学 理系第3問 解答解説

まとめ

計算は、やはり結構面倒ですね。
相当慎重にやらないと、失敗する可能性は高いでしょう。

過去問演習って言うのは、レベル感のチェックや、時間配分の検討、過去の出題傾向を把握するなんて、当たり前中の当たり前です。やって当然。
この問題では、是非とも面倒な計算にかかる時間のチェックをしてほしいですね。
そして、自分は本番の緊張状態の中、この複雑な計算を正確に当てられるのだろうかとも、考えてほしいと思います。

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2015年 東大入試数学 理系第3問 解答解説

2015年 東大入試数学 理系第3問 解答解説

2015年 東大数学 理系第1問の解説(通過領域、解の存在条件、包絡線)

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2015年東大理系数学第一問の解説(通過領域、解の存在条件、包絡線)

2015年東大数学入試問題理系第1問解答解説

まずは通過領域をマスターしよう

出ました!!頻出問題の、通過領域です。ただし、入試問題ではよく見ますが、教科書では登場しません。
教科書レベルを超えたテーマとしては、絶対に扱わなければならないテーマでしょう。
受験生は、絶対に身につけて下さい。

ちなみに、このHP上では、通過領域を体系的にマスターしてもらえる記事をアップしています。
通過領域をマスターしよう① 解の配置で解く
通過領域をマスターしよう② すだれ法(ファクシミリ論法)と包絡線
どうぞご覧くださいませ。

包絡線より解の配置

この問題も、包絡線を使って解く事も出来るんでしょうけど、ちょっとやってみたら面倒そうだったので止めました。
昔に比べて、数学の入試問題が簡単になったなんて話もありますが、この問題も解の配置だけで問題が解けてしまいますし、解の配置で解けない問題は存在しないので、解の配置が最優先!

中には包絡線を利用して解くとスッキリ簡単に解ける問題もあるので、身につけるに越したことはありませんが、解の配置をマスターすることが最も重要です。

一応、解の配置よりも包絡線の方が圧倒的に簡単に解ける例を1つ挙げておきます。
「y=2tx-t^2 が、t≧0の範囲で動くときの通過領域を求めよ。」

解の配置で解くときの流れ

ということで、問題文を見た瞬間に、解の配置の問題だと気付くのは良いとして、その後はaで降べきの順に整理しますね。
すると、aの2乗の係数に、xが含まれてるので、aの2乗の係数が0になるか、0にならないかで場合分けをする必要が出ますね。

なぜなら、aの2乗の係数が0だと一次方程式になり、aの2乗の係数が二次方程式になり、解の存在条件の求め方が全く異なるからです。

そして、二次方程式になる時(aの2乗の係数が0出ない時)は、少なくとも1つa>0に解を持たなければならないので、
重解にになるときと、ならないときに分けて、重解にならない時は、1解なのか2解なのかで分けて・・・と、まあ場合分けが面倒くさいです。

しかし、解の配置の問題で、面倒な場合分けを処理させる問題も、これまた頻出のテーマなので仕方ありません。丁寧に式変形を追って下さい。僕も面倒で嫌いです。

ということで、手書きの解答をどうぞ。

まとめ

通過領域の問題は、最後の図示の時に、これまで求めて来た領域がピッタリとパズルのピースを当てはめるように、過不足を補いながら埋まっていくのが、ちょっと気持ち良いですね。
ダブるように、場合分けをしても構わないんですけど、ダブらないように場合分けをすると、最後の図示もダブらずに出てきます。
通過領域の練習問題としてよい問題でした。

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2015年 東大文系数学 第4問(確率漸化式、樹形図)

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2015年 東大文系数学 第4問(確率漸化式、樹形図)

2015年東大数学文系第4問解答解説

確率を制する者は、東大を制す

東大入試では必ず「場合の数・確率」が出題されると言われてますが、この年も例に漏れず出ています。
そこで、私が東大志望者には頻繁に言ってる話を一つ紹介しましょう。
場合の数・確率は数Aで習いますし、他の分野との関連性が低いので、東大合格を目指すなら、低学年のうちから場合の数・確率を極めておくのが非常に有効です!

但し、この問題に関しては、僕の説も少し揺るぎます。というのも、サーっと問題文を眺めるだけで、「数列の分野」と絡む事が分かるからです。

まず、問題文を読んで、確率の問題だと見抜けない人はいないと思います。文末が「確率を求めよ」となってますからね。
そして、問題文にnが登場するのもお判りですね。

nが登場したら確率漸化式を疑え

そこで受験生の皆さんは、nが登場した時は、いわゆる「確率漸化式」の問題ではないかと疑いましょう。
nは、数列の一般項を表します。この問題には登場しませんが、Pnが登場する時も同じです。数列の知識がなくても解ける場合もありますが、東大入試なら確率漸化式だと決め打ちして考え始めても良いと思います。

そして、確率漸化式の問題の解答は、上手に遷移図が描ければ終わりです。
この問題の遷移図は、後で貼り付けた手書きの解答の画像にありますので見てほしいんですが、簡単に言えばn回目とn+1回目の関係性を図で表したものですね。
この図を基にして漸化式を立てて解いたら、自然と答えが出てしまうっていうのが定石のパターンです。
遷移図の書き方を何問か練習して、必ず身に着けるようにして下さいね。

では、手書きの解答をどうぞ!!
2015年東大数学文系第4問解答解説

補足説明としては、表が出た時の一文字目のAと二文字目のAを区別して考えるのが少し難しいかもしれませんね。
『混乱するときは場合を分ける』というのは、数学のセオリーですので、しっかり復習をお願いします。

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2015年 東大文系数学 第3問(円と直線が接する条件、角度を設定、相加相乗平均)

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2015年 東大文系数学 第3問(円と直線が接する条件、角度を設定、相加相乗平均)

2015年東大数学文系第3問解答解説

東大で大好き♪図形と座標の問題

問題文が長いような気がしますが、ほとんど図の説明です。

問題自体は非常にシンプルです。
こんな風に平面図形が与えられて、最小値を求めよだの、面積を求めよだのっていう問題は、路線は非常に単純。
平面図形を見ながら何本か立式して、連立しながら、求める値を計算していくだけです。
こういうの東大好きですね~。

円の接線が登場すると、パターン化しづらい

ただ、この問題の難しいところは、円の接線がたくさんあることですね。
xy座標に円と接線が登場する分野といえば、数Ⅱの「図形と方程式」ですが、この分野って先生でも解法を整理して教えるのが結構難しいんですよね。
特に、円と接線が絡む問題は、パターンが分岐しまくってて、受験生も混乱しがちな所です。本当はこの辺りを整理して書きたい所ですが、そこまですると大変なので、別に機会に任せます。

セオリーが通用しない

そして、さらに難しいところは、セオリー通りに解いても通用しないところでしょう。図形と方程式の分野で登場する条件を駆使すると、計算が複雑になりすぎて途中で挫折します。
僕も、何とか解法を提案出来ないかと、あれこれ計算してみましたが、どうにもこうにも、解説するに値する解法が見つかりませんでした。

なので、ちゃんと勉強してきた受験生ならば、一度セオリー通りに解いて挫折して、方針転換してから正答に辿り着く問題です。一応、セオリー通り解いたらどうなるかというのを、書いてみましたので、読んでみて下さい。。
2015年東大数学文系第3問解答解説

文字でまとめると、
①円と直線の接する条件は、「判別式が0になる」か、「直線から中心までの距離が、半径に一致する」のどちらか。
②2円の接する条件は「r1+r2=中心間の距離」
これに加えて、直線と中心を結んだ線分が直交する条件を組み合わせることによって、「同一点で同一直線に接する2円の条件」を作っています。

このまま計算すると、複雑な式が出てきて困って終わります。
しかし、セオリー通り勉強してきた受験生ほど、正解を導くために必要な挫折であって、壁にぶつかったからこそ方針転換を考えられるわけです。

発想を広げて、平面図形を思い出そう

さて、少し発想を広げて、セオリー以外に何か条件がないかと探すと、円と接線が登場する分野として、数Aの「平面図形」が思い出せますね。

良く見ると、x軸とy軸と直線lという、3直線の間に2つの円がスッポリ入っている形です。
2本の接線に挟まれる円の条件をここで習うはずです。具体的には、同じ長さの線分と、同じ角度が登場するという条件ですね。

この角度に注目して、さらに求めるものが直線の方程式、つまり直線の傾きだという事に注目すると、座標中に角度を設定するという発想になります。

といっても、恐らく一瞬で思いつける方はほとんどいないのではないでしょうか?もちろん、たまたま思いつく事はあるかもしれませんが、結構難しいと思いますね
しかし、この発想に辿り着ければ、あまり難しくありません。では、手書きの解答をどうぞ。
2015年東大数学文系第3問解答解説

相加相乗平均は思いつかないとダメ

途中で「相加相乗平均の関係」を、応用的に使う場面が出てきますが、これは思いつかないといけません。

というのも、なぜなら求めるのが、8r1+9r2の最小値です。
最小値を求めには、大きく二つの方法しかありません。
①グラフを書く
②特殊不等式の利用(相加相乗、コーシーシュワルツなど)

このうち、グラフを書くという説はあまり有力ではありません。
r1とr2という、変数が二つ登場しますし、傾きも登場するので微分が通用しないし、通用するように一文字に統一するのが大変そうです。

角度を設定して、三角関数を利用すると、数Ⅲの範囲になりますから、相加相乗が有力候補になります。
なので、東大受験生なら、どこで相加相乗を使うんだ??と思いながら解けるようになってほしいですね。最大最小問題なら、相加相乗は自然な発想です。
ということで、今回の解説は終わりです。

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2015年 東大文系数学 第2問(2次関数の存在条件、解の配置、1次方程式の存在条件、領域図示)

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2015年 東大文系数学 第2問(2次関数の存在条件、解の配置、1次方程式の存在条件、領域図示)

2015年東大数学文系第2問解答解説

珍しい設定の問題

二次関数、領域図示、積分なんかの融合問題ですね。問題文を一読しただけでも、それがわかります。

この問題、ちょっと珍しいのが、『条件(ⅰ)または条件(ⅱ)を満たす』という部分ですね。こういう風に条件が二つ以上書かれている時、 『条件(ⅰ)かつ条件(ⅱ)を満たす』となるのが多いと思うんですが、珍しく「または」の条件で考えさせています。

僕もはじめ、「かつ」の方の条件で解き進めて、途中で変な結果が出てしまいました。気を付けて気下さい!

条件2は簡単♪

パッと見ただけでは良くわからないでしょうから、とりあえず手を動かして、図示していきます。
すると、条件(ⅱ)の方は非常に簡単だというのが分かるでしょう。要するに、y=-xの直線の、AとBの間ですからね。これは問題ナシ。

条件1 2次関数の配置

扱いづらいのは、条件(ⅰ)の方でしょう。
②2次関数の頂点のx座標の絶対値が1以上
①その2次関数がAPBを通る。
という、二つの条件を満たさなければなりません。

但し、Pの座標は与えられてませんよね。
そして、Pの存在する領域を求めよという事は、最終的にPの座標の条件を求める事になるわけですから、ここでは点Aと点Bを通るような条件を立式すればよい、という事になります。
よって、y=ax^2+bx+c という、いつもの式を立てて、AとBを代入すればOK。
そして、軸の絶対値が1以上という不等式を立てておいて終わり、ということになります。

2次関数の存在条件は解の配置を使うのが定石

そして、そんな2条件よりも、この問題で受験生がつまづいてしまうポイントへ移りましょう。それは、2次関数の存在条件ですね。

この問題の場合は、条件を満たす2次関数の存在する条件を求めるという事なんですが、『2次関数の存在条件』と言われても、高校の教科書にはそんな用語は出てきません。

では、どうやって解くのかと言うと、たいていは解の存在条件です。
文系の受験者であれば、数Ⅰの2次関数の分野でやった、判別式とか、解の配置の問題を思い浮かべて下さい。

判別式であれば、解が少なくとも一つ以上存在する条件は、(判別式)≧0ですよね。
解の配置の問題でよくあるのは、「異なる正の2解が存在する条件」が、「判別式が正、かつ、軸の位置が正、かつ、境界のy座標が正」と3式を立てる問題です。
これらを利用して、「解が存在すれば、2次関数も存在する」という論理に持ち込んで解くわけです。
※解の配置を体系的に学ぶ方法に関しては、こちらの記事をご覧ください。2014年 東大文系数学第3問 理系第6問 通過領域の解法をノウハウにしよう!

1次方程式の解の配置の問題

しかし、この東大入試の難しいポイントは、上の二つのいずれでも解けないことですね。いや、難しいというより、本当は簡単なはずなんです。だって、この問題は1次方程式の解の存在条件ですから。

でも、普通の高校生は、判別式とか、解の配置に慣れ過ぎていて、もっと単純な1次方程式の解の存在条件の方が難しく感じてしまうようです。

実際の式に関しては、手書きの解答を見てもらえばわかりますが、左の列の下の方を見て下さい。
2015年東大数学文系第2問解答解説

1次方程式の解の配置なので、1次の係数に注目

a(s^2-1)=s+t とありますが、このaが解を持てば良いんですね。
a^2が出てこないので1次方程式です。という事は、aの係数が0の場合と、0でない場合に分けるというのは、普通の発想なのですが、いかんせん慣れていないので、ここでストップしてしまうようです。

こういう基本的な所をキチッと押さえておくことが非常に大事です。中学と高校の数学の教科書って、体系的にまとまっているように見えて、別に体系的にまとまってません。単元ごとに詰め合わせてあるだけの福袋みたいなものと言えば良いのか。

このあとは、領域図示と面積計算ですが、計算が複雑なだけで、やってる事は基本なので割愛させて頂きます。
関数の存在条件の問題は、入試で非常に良く出ますので、是非押さえておきましょう。アタフタしないように、立式して「解の存在条件に持ち込む」という流れを、身に着けて下さい。
※解の配置や領域図示に関する解法を体系的に学びたい方はこちら
(2014年 東大文系数学第3問 理系第6問 通過領域の解法をノウハウにしよう! )

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2015年 東大文系数学 第1問(真偽判定、常にの不等式、有名不等式)

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2015年 東大文系数学 第1問

2015年東大数学 文系第1問 解答解説

珍しく真偽判定の問題

珍しく真偽判定の問題ですね。
命題2つに関して真偽の判定をしろとの事ですが、どうやら二つにあまり関連性はなさそう。つまり、いわゆる誘導になってなさそうですから、出来そうな方から解けば良いでしょう。
※命題Aは正の整数で、命題Bはただの整数だし、命題Aはnだけに対して、命題Bはnとmが登場するので、ぱっと見で関連性はなさそうだと判断できます。

さて、真偽の判定の仕方ですが、これは「反例が存在するかどうか」です。
反例が存在すれば偽、判例が存在しなければ真です。
これを頭に置いて、命題Aから見ていきましょう。

反例を探す問題は「常に」と言い換えよう

命題Aの不等式は、まさか分母に26を置いたままで計算する人はいないでしょうから、とりあえず分母を払いますね。
すると、n^3-26n^2+2600≧0 となります。

ここで真偽判定のチェックの仕方を思い出してください。反例が一つでもあれば偽で、反例が一つもなければ真です。
この「反例が一つもなければ」という言葉の代わりに「常に」という言葉を使いましょう。
そして「常に」という言葉は超キーワードなのです。

常に + 不等式 は最大最小問題

まずは、ポイントの説明からしましょう。
「常に」と「不等式」の組み合わせを見たら、最大最小問題に切り替わります。

よく数学の先生が使う例えを紹介しますと、
「クラスの最低点が60点以上だ」と言ったら、「クラス全員が60点以上だ」ってわかるのと同じです。

これをこの問題に応用しましょう。
「常に」 n^3-26n^2+2600≧0 が成立するかどうかを問われていますので、左辺の最小値が右辺を超えるかどうかを調べることになります。
左辺の式を見るとnの3次式。3次式の最大最小の求め方は、3次関数と見てグラフを書くのが、これまたセオリーです。(二次式だったら色々と武器があるのですが)
という事で、あとは左辺の3次式のグラフを書けば解けるな、という目途が立ちます。

定義域が整数と、定義域が実数の問題は違う

ちなみにnは整数値ですが、3次関数は定義域が実数です。
だから、左辺のグラフを書いた後に、一番近くの整数の点を探さなければならない事に注意して下さいね。
手書きの解答を見ても、最小値はx=52/3の時なんですが、n=52/3を代入することは出来ませんから、一番近くの整数であるn=17で解答を進めています。

偽の証明は反例だけ書けばよい

また、偽の証明は反例を示せば良いので、解答用紙にはあまり色々書かなくて良いです。
「命題Aは偽である。反例はn=17である。」
とだけ書けば良いんでしょうけど、あまりにも簡素過ぎると感じたなら、n=17の時の計算結果を少し書いておけば安心です。
何にしろ、3次関数のグラフの辺りは、解答用紙に書かなくて良いと思います。n=17を導くまでの思考回路では必要ですけどね。
では、手書きの解答をどうぞ。
2015年東大数学 文系第1問 解答解説

命題B 文字を減らそう

では、命題Bへ移りましょう。
基本的な考え方は同じですが、変数が多いですね。nとmとlが登場します。
5n+5m+3l=1 の時に 10mn+3ml+3nl<0 を示せという事です。
等式が一本あるので、文字を一文字減らしてしまいましょう。

1式目も2式目も、nとmは対称性があり、lだけ特殊な使われ方をしてますから、lを消去するのが自然でしょう。
1式目を、3l=・・・ の形に直して、2式目の左辺に代入します。

すると、 m‐5m^2+n-5n^2 という、mとnが独立した形になります。
という事は、m-5m^2<0だけ証明すれば、同時にn-5n^2<0も証明されたことになりますから、やはり対称性を保ちつつ変形したのが正解でした。

有名不等式を覚えよう

さて、mと5m^2の大小関係ですが、これは有名な不等式「m≦m^2」が使えそうですね。
もちろん、使える時のmの条件もありますから、この辺りを細かく丁寧にチェックして下さい。上手く使えば、これで解答終わりです。

ちなみに、この不等式の事を知らない受験生も多いと思うので証明や補足も載せましたし、この不等式を思いつかなかった人のための解答も載せましたので、参考にして下さい。
細かい事は、手書きの解答をご覧くださいませ。
2015年東大数学 文系第1問 解答解説

まとめ

整数の最大値、最小値の扱いは、あまりやった事がないかもしれませんが、関数のグラフを書いて、最大値や最小値付近の整数を調べる方法は、東大で過去にも登場しているので押さえておいて欲しいですね。

また、有名不等式もいくつか教科書や参考書に載っていますから、それもこの際、一度まとめて調べておくのも良いでしょう。
特殊な不等式のくくりでは、相加相乗、コーシーシュワルツ、三角不等式、絶対不等式、実数条件・・・と結構いっぱい登場します。

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