2019夏 河合東大オープン 文系数学第4問の解説(整数、互いに素、分数式が整数になる条件)

2019年夏 河合東大オープン 文系数学第4問の解説

さて、第4問。
典型的な整数問題。
(2)も、かつての難しさほどではなく、東大受験する人ならば知っておきたい解法というレベル。
取りたいです。

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2019夏 河合東大オープン 文系数学第3問の解説(図形の問題の3つの解法)

2019年夏 河合東大オープン 文系数学第3問の解説

だいぶ更新が遅れてしまっていますが、文系第3問です。
この問題は、ぜひ東大文系受験者によく研究してほしい問題ですね。
理由としては、
①同じような問題が、ここ最近出題されている。
②別解やアプローチが複数あり、比較検討することにより、解法がパターン化できる。
といったところ。
ではまず問題です。
図形が与えられて、面積やら長さやら角度やらを求めさせる問題。
単純そうで、苦手な子が多いのです。
では、どのように考えたらよいでしょう。

図形の問題のアプローチは?

このブログでも何度か書いていますが、このような図形の問題のアプローチの方法は、意外と体系化されていません。
私は主に、以下の3つくらいが使いこなせると良いだろうと思っています。
図形問題の解法パターン
①図形の性質を利用して解く
②座標を設定して解く
③ベクトルで解く
ということで、今回は(作るの大変だったのですが)3パターンの解法を全て載せます。(それでアップが遅れたんですが)

①図形の性質を利用して解く

まずは、図形の正室を利用してとくもの。余弦定理、正弦定理や、数Aの平面図形の分野で登場する公式や定理を利用して解くパターンです。
河合塾の模範解答でも、この方法が紹介されています。
まず、紙の折り返しの問題ですが、これは「線対称」の問題であり、「垂直二等分線」の問題でもあります。
Point
紙の折り返し = 線対称 = 垂直二等分線
つまり、△ABDと△ABD’が合同になっているのです。
これを利用して、線分の長さを書きこんでくと、結局、余弦定理一発で長さがわかる問題になってしまいます。
ちなみに、直線ACを軸に対称移動させた図を描くとき、少し図が書きづらいですね。D’の位置がどのあたりになるかわからなくなり、困るかもしれませんが、こういうときは、とりあえず適当に書いておけばOK。
困ったらきれいに図を描きなおせば、大抵のことは済まされます。
ということで、こんな解答になるわけですね。
(下の図の左側です)
このように、①図形の性質を利用して解ければ、一番簡単♪
基本的には、なるべく図形の性質を利用して解ければ、それが手数の少ない解答になることが多いような気がします。

②座標を設定して解く

では次に、座標を設定して解くパターン。
使い慣れてない人からすると「天才的な発想」に見えてしまうかもしれませんが、天才でもなんでもなく、
図形問題の解法パターン
①図形の性質を利用して解く
②座標を設定して解く
③ベクトルで解く
を知ってて、一つずつ検討しているだけです。
さて、座標を設定する問題の場合には、いくつか書かなければならないことがあります。

座標は、直角関係の図形が登場したら導入を検討せよ

まず、普通は直角が絡む図形(直角三角形、長方形、正方形など)に使う場合が多いです。
リンク先を見てもらうと分かりますが、この問題は正方形が登場しています。また、文系は初めから座標が与えられていますが、理系は図形だけで座標は導入されていません。この辺りも、学びになるポイントです。
では、話を戻して、この河合の問題ですが、直角が絡む図形ではありません。平行四辺形です。
では、なぜ座標を導入しようと思うかというと、角度が45°で、長さが√2になっており、(1,1)と座標を導入するとキレイにハマるからです。
つまり、座標を導入させたいのかという意図がありそうなので、直角じゃなくても座標の導入を検討できます。
※無理やりであれば、どんな図形でも座標を導入して構いません。

座標上の垂直二等分線の処理

さて、このブログでは再三に渡り書いているのですが、垂直二等分線の処理は非常に重要です。意外にも頻繁に出ますので、パターンをおさえられていない場合、必ず身につけてください。
なぜなら、上にも書きましたが、
Point
紙の折り返し = 線対称 = 垂直二等分線
があるため、線対称とセットで登場するのです。
垂直二等分線の処理の仕方は、基本がこちら。数Ⅱの「図形と方程式」に登場する問題の解法を覚えておきましょう。
簡潔に言えば、
①垂直条件、②中点の条件 という、文字通り「垂直二等分線」の名の通りの立式をします。
これを利用して、地道に計算を進めていくと、このような解法になります。

 

但し、①図形として解くパターンに比べて、かなり計算量が増えます。文系受験者にはちょっと厳しいかもしれませんね。時間もかかりますし。

③ベクトルで解く

では、最後の1つ、ベクトルで解く場合です。

垂直二等分線の条件をベクトルで解くことは、かなり珍しいと思いますが解けます。

但し、やはり①図形で解くよりもやや面倒くさいですね。

 

ベクトルの解法の場合、交点の位置ベクトルを求めるのが、やや面倒くさかったり、大きさや面積といった、内積がからむ計算が面倒になりがちなので、必ず解きやすいものではないのですが、武器として持っていると安心感があります。

図形の問題とベクトルは、基本的には相性が良いので、これも使いこなせるようになりましょう。

 

まとめ

このように、図形の解法には3つありまして、どれも使えるようになると、東大文系レベルは盤石。

むしろ、今まで、「解説を読んでわかった」とか、採点をして終わり、みたいな勉強法をしてきた人は、実力が積み重なりにくいのです。

 

こうやって、別解の検討や体系化をしていくことで、効率よく実力に還元していきます。

ぜひやってみてくださいね。

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2019年夏 河合東大オープン 文系数学第2問の解説

ちょっと期間あいてしまいましたが、河合オープンの解説です。

第2問は文理共通問題でしたが、文系には少し難しかったでしょうか。でも、東大の本試の方がもう少し難しい印象なので、これくらいは解きたいところ。理系なら20点を平気で取りたいレベルです。

 

大雑把な感想としては、確率漸化式が解きなれてれば完答できるけど、苦手だと何もできないで終わるという感じ。あとは計算量が多いのが面倒ですかね。 という前振りで、細かく見ていきましょう。

 

(1)場合分けて計算するだけ。でもそれだけでは・・・

(1)は確率でよくあるタイプ。nが小さい場合の値を計算させる問題でございます。

得点を取るだけなら、樹形図を描いて計算すればよいのですが、(2)のようにnの場合につなげるにはそれだけではダメ。

 

なんなら、先に(2)を解いて、そのために必要な要素を(1)から探るくらいでよいと思います。

 

確率漸化式は、遷移図描いて、掛けて足すだけ

ということで、今回はいつもと変えて、(2)から解いてみましょう。

確率漸化式の問題は、遷移図を書いて状況を調べれば、ほとんど解けたも同然。計算ミスさえなければ、勝利が確定します。

 

その時のポイントは、

まず状態を細かく分けて分割し、まとめられるところをまとめて、シンプルにする

というもの。

 

今回は、

(Aの水量、Bの水量)と座標のように表現すると、

(0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2)

の6個の状態しかありません。

 

(2)で問われているPnは、nが3以上の場合に限定されていますが、nが3以上の場合、(0,0)と(0,1)は発生しません。

(0,0)は一度も(操作)を行っていない時にしか発生せず、(0,1)は(操作)を一度行ったときにBの容器を選択した場合にしか発生しません。

 

ということで、6つのうち(0,0)と(0,1)を除き、残り4つの状態で考えます。

状態を分割したら、まとめてみよう!

ここまでで4つの状態に分解しましたが、これで終わりではありません。ここからまとめる作業に移ります。

「まとめる」というのは、遷移図をシンプルに表現するということです。
今のままだと、an、bn、Cn、Pnの4種類が登場する漸化式になりますが、4つの連立漸化式を解くのは中々計算が多くなる。
これを、3種類にまとめることができれば、計算が簡単になり解きやすくなります。
具体的な注目ポイントとしては、
①対称性などに注目して複数の状態を1つにまとめるタイプ

 

②偶奇に関わるなどで、複数の試行を1つにまとめるタイプ

2012年文系第3問&理系第2問2008年文系第2問&理系第2問など

 

この問題は、特にまとめられるものがないので、仕方なく4つの場合のまま遷移図を書きます。

 

すると、こんな漸化式が立てられます。

 

ここまでくれば、あとは計算だけ。頭を使うというより、ミスしないように神経を使う問題にすり替わります。

 

計算が多少面倒臭い

ただし、計算が多少面倒臭いです。4本も漸化式が立ってますし、n=1で定義されない確率もあるので、等比数列の公式が使いにくいし。

こういうのに引っ掛かって計算ミスをすることなく、正確に計算しましょう。

細かい部分は、手書きの解答をご覧くださいませ。

 

普通の問題と逆

普通、東大の確率というと、カラクリを解き明かすのに時間がかかり、計算はそれほど時間がかからないというパターンが多いのですが、これは逆。

カラクリはまあまあ早く見極められますが、計算が面倒。ミスした人も多いでしょうね。

 

さて、計算量が多い問題は、どこまで計算を踏み込むのか常に気を配らなければなりません。

計算量が多くなった時、多くの人は「もう少しいじってみよう」と追いますが、実は大抵の正解は「ストップ」深追いせず、その先の展開を予想して、目途が立ってから進みます。

この辺りの感覚は、中々活字で伝えづらいのですが、覚えておくと、同じ実力でも、点数が数十点変わることがあります。

では、また次の記事をお楽しみに。

 

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2019夏 河合東大オープン 文系数学第1問の解説

2019年夏 河合東大オープン 文系数学第1問の解説

毎年恒例、東大模試の解説を始めていこうと思います。
昨日実施された、河合オープンの文系第1問です。
まず問題から。
2019夏 河合東大オープン 文系数学第1問 問題_1 合格 受験 東大模試 駿台実戦

(1)は教科書例題レベル

瞬殺です。
(1)は教科書例題レベルと言ってよいでしょう。

関数の問題の超基本事項(中2で習います)である
関数の交点 ⇔ 連立した方程式の解
を使って、とにかくC1とC2を連立。すると、定数kが右辺に分離出来て、左辺が3次関数となります。

あとは増減表書いて、グラフを描いて、3回交わるkの範囲を求めると。
まさに教科書例題です。
2019夏 河合東大オープン 文系数学第1問 問題_1 合格 受験 東大模試 駿台実戦
↑この教科書の例題と同じ問題です。

さすがに、これは解けなきゃ。

(2)はも瞬殺

(2)は教科書例題レベルとは言いません。しかし、教科書レベルではあります。

α+β+γという数式はどこで見たことがあるでしょうか?端的に行って「解と係数の関係」の時だけでしょう。3文字の和という意味であれば、因数分解の公式など、他のものもありますが、今回は交点のx座標の和です。
先ほども言いましたが、交点のx座標というのは、方程式の解です。
つまり、3つの解の和ですから、3文字の解と係数の関係で一択になります。

というのが分かってしまえば、あとは鼻息交じりで、連立して3次方程式を作って解と係数の関係を立てておけば終わり♪
これも瞬殺で、ラスボスにチャレンジしましょう。
数学が得意なら、ここまでで3分以内でたどり着きたい問題。

垂心は扱いが雑でよい

では、最後に(3)に行きましょう。
簡単に言うと、△ABCの垂心の軌跡を求めろという問題。
軌跡の問題は、その点の座標をパラメータで表し、消去してxとyの関係式を求めるだけです。
但し、その計算過程で、少し図形的な考察を加えると簡単に行くこともあります。(アポロニウスの円など)

では、垂心はというと「何もなし」。
はっきり言って、垂心なんてその程度「イジって」おけば十分。いや、イジッたところで何もでてきません。
外心なら正弦定理と組み合わせるとか、重心なら2:1に内分するとか、色々あるのですが、、、。
垂心に関しては、ただ単に頂点から垂線を下ろしたら垂心を通るというだけで、特に何も覚えることはありません。

ということで、安心して各頂点から垂線を下ろしておきます。

垂線を下ろして、パラメータを消去

直線ABの方程式を求めたり、点Cから垂線を下ろしたりと計算を進めると、それなりに複雑な式が出てきますが、ここからはただの「計算力勝負」

こういうときは、自分が立てた式を箇条書きにしておいて、使える「武器」(つまり式)をはっきりさせておくのが良いでしょう。
今回の問題は、解と係数の関係の3本がパラメータ消去に使える式です。
これを念頭に置きながら、そして何度も計算ミスや遠回りをしても良いから、最後まで計算し終わったら終了です。

ちなみに、αとβとγとkは、それぞれが関係のある文字なので、1つになるまで消去しなければいけません。
そして、αとβとγはそれぞれ対称性がありますから、1つが消去できるということは3つが消去できるということ。
こういうことを冷静に考えられると、kを残すのが正解だとわかります。

ということで、手書きの解答です。
2019夏 河合東大オープン 文系数学第1問 問題_1 合格 受験 東大模試 駿台実戦

2019夏 河合東大オープン 文系数学第1問 問題_1 合格 受験 東大模試 駿台実戦

まとめ

(3)の計算が面倒くさく、慣れてないと混乱してしまうのでしょうが、流れ自体は一文字も書かなくても読める問題です。
(1)や(2)は満点を取らなければならない問題ですから、(3)の部分点も含めて10点以上はほしいところ。
東大の本番の入試の難易度と比べても、それほど違いはないと言えるでしょう。
では、また次回