2019夏 河合東大オープン 文系数学第2問の解説
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2019年夏 河合東大オープン 文系数学第2問の解説
ちょっと期間あいてしまいましたが、河合オープンの解説です。
第2問は文理共通問題でしたが、文系には少し難しかったでしょうか。でも、東大の本試の方がもう少し難しい印象なので、これくらいは解きたいところ。理系なら20点を平気で取りたいレベルです。
大雑把な感想としては、確率漸化式が解きなれてれば完答できるけど、苦手だと何もできないで終わるという感じ。あとは計算量が多いのが面倒ですかね。 という前振りで、細かく見ていきましょう。
(1)場合分けて計算するだけ。でもそれだけでは・・・
(1)は確率でよくあるタイプ。nが小さい場合の値を計算させる問題でございます。
得点を取るだけなら、樹形図を描いて計算すればよいのですが、(2)のようにnの場合につなげるにはそれだけではダメ。
なんなら、先に(2)を解いて、そのために必要な要素を(1)から探るくらいでよいと思います。
確率漸化式は、遷移図描いて、掛けて足すだけ
ということで、今回はいつもと変えて、(2)から解いてみましょう。
確率漸化式の問題は、遷移図を書いて状況を調べれば、ほとんど解けたも同然。計算ミスさえなければ、勝利が確定します。
その時のポイントは、
まず状態を細かく分けて分割し、まとめられるところをまとめて、シンプルにする
というもの。
今回は、
(Aの水量、Bの水量)と座標のように表現すると、
(0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2)
の6個の状態しかありません。
(2)で問われているPnは、nが3以上の場合に限定されていますが、nが3以上の場合、(0,0)と(0,1)は発生しません。
(0,0)は一度も(操作)を行っていない時にしか発生せず、(0,1)は(操作)を一度行ったときにBの容器を選択した場合にしか発生しません。
ということで、6つのうち(0,0)と(0,1)を除き、残り4つの状態で考えます。
状態を分割したら、まとめてみよう!
ここまでで4つの状態に分解しましたが、これで終わりではありません。ここからまとめる作業に移ります。
②偶奇に関わるなどで、複数の試行を1つにまとめるタイプ
2012年文系第3問&理系第2問、2008年文系第2問&理系第2問など
この問題は、特にまとめられるものがないので、仕方なく4つの場合のまま遷移図を書きます。
すると、こんな漸化式が立てられます。
ここまでくれば、あとは計算だけ。頭を使うというより、ミスしないように神経を使う問題にすり替わります。
計算が多少面倒臭い
ただし、計算が多少面倒臭いです。4本も漸化式が立ってますし、n=1で定義されない確率もあるので、等比数列の公式が使いにくいし。
こういうのに引っ掛かって計算ミスをすることなく、正確に計算しましょう。
細かい部分は、手書きの解答をご覧くださいませ。
普通の問題と逆
普通、東大の確率というと、カラクリを解き明かすのに時間がかかり、計算はそれほど時間がかからないというパターンが多いのですが、これは逆。
カラクリはまあまあ早く見極められますが、計算が面倒。ミスした人も多いでしょうね。
さて、計算量が多い問題は、どこまで計算を踏み込むのか常に気を配らなければなりません。
計算量が多くなった時、多くの人は「もう少しいじってみよう」と追いますが、実は大抵の正解は「ストップ」深追いせず、その先の展開を予想して、目途が立ってから進みます。
この辺りの感覚は、中々活字で伝えづらいのですが、覚えておくと、同じ実力でも、点数が数十点変わることがあります。
では、また次の記事をお楽しみに。
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