２０１９夏 河合東大オープン 文系数学第２問の解説
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2019年夏 河合東大オープン 文系数学第２問の解説
ちょっと期間あいてしまいましたが、河合オープンの解説です。
第２問は文理共通問題でしたが、文系には少し難しかったでしょうか。でも、東大の本試の方がもう少し難しい印象なので、これくらいは解きたいところ。理系なら２０点を平気で取りたいレベルです。
大雑把な感想としては、確率漸化式が解きなれてれば完答できるけど、苦手だと何もできないで終わるという感じ。あとは計算量が多いのが面倒ですかね。 という前振りで、細かく見ていきましょう。
（１）場合分けて計算するだけ。でもそれだけでは・・・
(1)は確率でよくあるタイプ。ｎが小さい場合の値を計算させる問題でございます。
得点を取るだけなら、樹形図を描いて計算すればよいのですが、（２）のようにｎの場合につなげるにはそれだけではダメ。
なんなら、先に（２）を解いて、そのために必要な要素を（１）から探るくらいでよいと思います。
確率漸化式は、遷移図描いて、掛けて足すだけ
ということで、今回はいつもと変えて、（２）から解いてみましょう。
確率漸化式の問題は、遷移図を書いて状況を調べれば、ほとんど解けたも同然。計算ミスさえなければ、勝利が確定します。
その時のポイントは、
まず状態を細かく分けて分割し、まとめられるところをまとめて、シンプルにする
というもの。
今回は、
（Ａの水量、Ｂの水量）と座標のように表現すると、
（０，０） （０，１） （０，２） （１，０） （１，１） （１，２）
の６個の状態しかありません。
（２）で問われているＰｎは、ｎが３以上の場合に限定されていますが、ｎが３以上の場合、（０，０）と（０，１）は発生しません。
（０，０）は一度も（操作）を行っていない時にしか発生せず、（０，１）は（操作）を一度行ったときにＢの容器を選択した場合にしか発生しません。
ということで、６つのうち（０，０）と（０，１）を除き、残り４つの状態で考えます。
状態を分割したら、まとめてみよう！
ここまでで４つの状態に分解しましたが、これで終わりではありません。ここからまとめる作業に移ります。
②偶奇に関わるなどで、複数の試行を１つにまとめるタイプ
２０１２年文系第３問＆理系第２問、２００８年文系第２問＆理系第２問など
この問題は、特にまとめられるものがないので、仕方なく４つの場合のまま遷移図を書きます。
すると、こんな漸化式が立てられます。
ここまでくれば、あとは計算だけ。頭を使うというより、ミスしないように神経を使う問題にすり替わります。
計算が多少面倒臭い
ただし、計算が多少面倒臭いです。４本も漸化式が立ってますし、ｎ＝１で定義されない確率もあるので、等比数列の公式が使いにくいし。
こういうのに引っ掛かって計算ミスをすることなく、正確に計算しましょう。
細かい部分は、手書きの解答をご覧くださいませ。
普通の問題と逆
普通、東大の確率というと、カラクリを解き明かすのに時間がかかり、計算はそれほど時間がかからないというパターンが多いのですが、これは逆。
カラクリはまあまあ早く見極められますが、計算が面倒。ミスした人も多いでしょうね。
さて、計算量が多い問題は、どこまで計算を踏み込むのか常に気を配らなければなりません。
計算量が多くなった時、多くの人は「もう少しいじってみよう」と追いますが、実は大抵の正解は「ストップ」深追いせず、その先の展開を予想して、目途が立ってから進みます。
この辺りの感覚は、中々活字で伝えづらいのですが、覚えておくと、同じ実力でも、点数が数十点変わることがあります。
では、また次の記事をお楽しみに。
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