2019夏 河合東大オープン 文系数学第2問の解説

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2019年夏 河合東大オープン 文系数学第2問の解説

ちょっと期間あいてしまいましたが、河合オープンの解説です。

第2問は文理共通問題でしたが、文系には少し難しかったでしょうか。でも、東大の本試の方がもう少し難しい印象なので、これくらいは解きたいところ。理系なら20点を平気で取りたいレベルです。

 

大雑把な感想としては、確率漸化式が解きなれてれば完答できるけど、苦手だと何もできないで終わるという感じ。あとは計算量が多いのが面倒ですかね。 という前振りで、細かく見ていきましょう。

 

(1)場合分けて計算するだけ。でもそれだけでは・・・

(1)は確率でよくあるタイプ。nが小さい場合の値を計算させる問題でございます。

得点を取るだけなら、樹形図を描いて計算すればよいのですが、(2)のようにnの場合につなげるにはそれだけではダメ。

 

なんなら、先に(2)を解いて、そのために必要な要素を(1)から探るくらいでよいと思います。

 

確率漸化式は、遷移図描いて、掛けて足すだけ

ということで、今回はいつもと変えて、(2)から解いてみましょう。

確率漸化式の問題は、遷移図を書いて状況を調べれば、ほとんど解けたも同然。計算ミスさえなければ、勝利が確定します。

 

その時のポイントは、

まず状態を細かく分けて分割し、まとめられるところをまとめて、シンプルにする

というもの。

 

今回は、

(Aの水量、Bの水量)と座標のように表現すると、

(0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2)

の6個の状態しかありません。

 

(2)で問われているPnは、nが3以上の場合に限定されていますが、nが3以上の場合、(0,0)と(0,1)は発生しません。

(0,0)は一度も(操作)を行っていない時にしか発生せず、(0,1)は(操作)を一度行ったときにBの容器を選択した場合にしか発生しません。

 

ということで、6つのうち(0,0)と(0,1)を除き、残り4つの状態で考えます。

状態を分割したら、まとめてみよう!

ここまでで4つの状態に分解しましたが、これで終わりではありません。ここからまとめる作業に移ります。

「まとめる」というのは、遷移図をシンプルに表現するということです。
今のままだと、an、bn、Cn、Pnの4種類が登場する漸化式になりますが、4つの連立漸化式を解くのは中々計算が多くなる。
これを、3種類にまとめることができれば、計算が簡単になり解きやすくなります。
具体的な注目ポイントとしては、
①対称性などに注目して複数の状態を1つにまとめるタイプ

 

②偶奇に関わるなどで、複数の試行を1つにまとめるタイプ

2012年文系第3問&理系第2問2008年文系第2問&理系第2問など

 

この問題は、特にまとめられるものがないので、仕方なく4つの場合のまま遷移図を書きます。

 

すると、こんな漸化式が立てられます。

 

ここまでくれば、あとは計算だけ。頭を使うというより、ミスしないように神経を使う問題にすり替わります。

 

計算が多少面倒臭い

ただし、計算が多少面倒臭いです。4本も漸化式が立ってますし、n=1で定義されない確率もあるので、等比数列の公式が使いにくいし。

こういうのに引っ掛かって計算ミスをすることなく、正確に計算しましょう。

細かい部分は、手書きの解答をご覧くださいませ。

 

普通の問題と逆

普通、東大の確率というと、カラクリを解き明かすのに時間がかかり、計算はそれほど時間がかからないというパターンが多いのですが、これは逆。

カラクリはまあまあ早く見極められますが、計算が面倒。ミスした人も多いでしょうね。

 

さて、計算量が多い問題は、どこまで計算を踏み込むのか常に気を配らなければなりません。

計算量が多くなった時、多くの人は「もう少しいじってみよう」と追いますが、実は大抵の正解は「ストップ」深追いせず、その先の展開を予想して、目途が立ってから進みます。

この辺りの感覚は、中々活字で伝えづらいのですが、覚えておくと、同じ実力でも、点数が数十点変わることがあります。

では、また次の記事をお楽しみに。

 

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